已知函数f（x）=（x-a）lnx，（a≥0）．（1）当a=0时，若直线y=2x+m与函数y=f（x）的图象相切，求m的值；（2）若f（x）在[1，2]上是单调
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知函数f（x）=（x-a）lnx，（a≥0）．
（1）当a=0时，若直线y=2x+m与函数y=f（x）的图象相切，求m的值；
（2）若f（x）在[1，2]上是单调减函数，求a的最小值；
（3）当x∈[1，2e]时，|f（x）|≤e恒成立，求实数a的取值范围．（e为自然对数的底）． |
答案
（1）当a=0时，f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1
∵直线y=2x+m与函数y=f（x）的图象相切，∴lnx+1=2，∴x=e
∵f（e）=e，∴切点为（e，e），∴m=-e；
（2）f′(x)=lnx+1-
∵f（x）在[1，2]上是单调减函数，
∴f′(x)=lnx+1-≤0在[1，2]上恒成立
∴a≥xlnx+x在[1，2]上恒成立
令g（x）=xlnx+x，则g′（x）=lnx+2＞0
∴g（x）=xlnx+x在[1，2]上单调递增
∴a≥≥g（2）=2ln2+2
∴a的最小值为2ln2+2；
（3）|f（x）|≤e等价于-e≤（x-a）lnx≤e
∴-≤x-a≤
∴x-≤a≤x+
设h（x）=x+，t（x）=x-，则t（x）max≤a≤h（x）min，
由h′(x)=，∵h′（e）=0
令s（x）=xln2x-e，x∈[1，2e]，则s′（x）=ln2x+lnx＞0
∴h（x）在[1，2e]上单调递增，∴h（x）min=h（e）=2e，
∵t′（x）=1+＞0，∴t（x）在[1，2e]上单调递增，
∴t（x）max=t（2e）=2e-
综上，2e-≤a≤2e． |
举一反三
| 若关于x的不等式ax2+ax-1＜0解集为R，则a的取值范围是______． |
已知函数f(x)=lg(-1)，则y=f（x）的图象（ ）| A．关于原点对称 | B．关于y轴对称 | | C．关于x轴对称 | D．关于直线y=x对称 |
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已知数列an满足a1=1，an+1=an+n（n∈N*），数列bn满足b1=1，（n+2）bn+1=nbn（n∈N*），数列cn满足c1=1，++…+=（n∈N*）
（1）求数列an、bn的通项公式；
（2）求数列cn的通项公式；
（3）是否存在正整数k使得k(an+)-＞cn+6n+15对一切n∈N*恒成立，若存在求k的最小值；若不存在请说明理由． |
| 已知f（x）为偶函数，它在零到正无穷上是增函数，求f（2m-3）＜f（8）的m范围． |
| 定义在[-4，4]上的偶函数f（x）在区间[0，4]上单调递减，若f（1-m）＜f（m），则实数m的取值范围是______． |
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