已知偶函数f(x),对任意x1,x2∈R,恒有:f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2x1x2+1,(1)求f(0),f(1),f(2)的值;(2)求f(
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知偶函数f(x),对任意x1,x2∈R,恒有:f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2x1x2+1, (1)求f(0),f(1),f(2)的值; (2)求f(x); (3)判断F(x)=[f(x)]2-2f(x)在(0,+∞)上的单调性. |
答案
(1)直接令x1=x2=0得:f(0)=-1, 令x1=1,x2=-1得:f(1-1)=f(1)+f(-1)-2+1=2f(1)-1,∵f(0)=-1∴f(1)=0, 令x1=x2=1得:f(2)=3; (2)因为:f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)+2x(-x)+1, 又f(x)=f(-x),f(0)=-1, 故f(x)=x2-1; (3)∵F(x)=[f(x)]2-2f(x)=x4-4x2+3, ∴F′(x)=4x3-8x=4x(x2-2)=4x(x+)(x-); ∴在(,+∞)上F′(x)>0,在(0,)上F′(x)<0 故函数F(x)在[,+∞)上是增函数,在(0,)上为减函数. |
举一反三
函数f(x)=-sin2x+sinx+a,若1≤f(x)≤对一切x∈R恒成立,求a的取值范围. |
若奇函数y=f(x)(x≠0),当x∈(0,+∞)时,f(x)=x-1,则不等式f(x)<0的解集是( )A.{x|x<-1或0<x<1} | B.{x|-1<x<0} | C.{x|0<x<1} | D.{x|x<-1或x>1} |
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已知函数f(x)=ex-x (1)证明:对一切x∈R,都有f(x)≥1 (2)证明:1+++…+>ln(n+1)(n∈N*). |
函数f(x)是奇函数,且在[-1,1]是单调增函数,又f(-1)=-1,则满足f(x)≤t2+2at+1对所有的x∈[-1,1]及a∈[-1,1]都成立的t的范围是______. |
奇函数f(x)(x∈R)满足:f(-4)=0,且在区间[0,3]与[3,+∞)上分别递减和递增,则不等式(x2-4)f(x)<0的解集为______. |
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