(Ⅰ)当k=0时,f(x)=e2x-1-2x, f′(x)=2e2x-2, 令f′(x)>0,则2e2x-2>0,解得:x>0. 令f′(x)<0,则2e2x-2<0,解得:x<0. 所以,函数f(x)=e2x-1-2x的单调增区间为(0,+∞). 单调减区间为(-∞,0). (Ⅱ)由函数f(x)=e2x-1-2x-kx2, 则f′(x)=2e2x-2kx-2=2(e2x-kx-1), 令g(x)=e2x-kx-1, 则g′(x)=2e2x-k. 由x≥0, 所以,①当k≤2时,g′(x)≥0,g(x)为增函数,而g(0)=0, 所以g(x)≥0,即f′(x)≥0,所以f(x)在[0,+∞)上为增函数, 而f(0)=0,所以f(x)≥0在[0,+∞)上恒成立. ②当k>2时,令g′(x)<0,即2e2x-k<0,则0≤x<ln. 即g(x)在[0,ln)上为减函数,而g(0)=0,所以,g(x)在[0,ln)上小于0. 即f′(x)<0,所以,f(x)在[0,ln)上为减函数,而f(0)=0,故此时f(x)<0,不合题意. 综上,k≤2. (Ⅲ)≥+. 事实上,由(Ⅱ)知,f(x)=e2x-1-2x-2x2在[0,+∞)上为增函数, 所以,e2x≥2x2+2x+1=x2+(x+1)2, 则e0≥12 e2≥12+22 e4≥22+32 e6≥32+42 … e2(n-1)≥(n-1)2+n2 累加得:1+e2+e4+e6+…+e2(n-1)≥2(12+22+32+…+(n-1)2)+n2. 即≥2×+n2. 所以,≥+. |