已知f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）判断方程f（x）=12x+b的零点的个数．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）判断方程f（x）=

1

2

x+b的零点的个数．

答案

（1）∵f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
∴f（-x）=f（x）
即log₄（4^-x+1）-kx=log₄（4^x+1）+kx
即log₄（4^x+1）-（k+1）x=log₄（4^x+1）+kx
即2k+1=0
∴k=-

1

2

证明：（2）由（1）得f（x）=log₄（4^x+1）-

1

2

x
令y=log₄（4^x+1）-x
由于y=log₄（4^x+1）-x为减函数，且恒为正
故当b＞0时，y=log₄（4^x+1）-x-b有唯一的零点，此时函数y=f（x）的图象与直线 y=

1

2

x+b有一个交点，
当b≤0时，y=log₄（4^x+1）-x-b没有零点，此时函数y=f（x）的图象与直线 y=

1

2

x+b没有交点