已知函数f(x)=3x2-6x-5.(1)求不等式f(x)>4的解集;(2)设g(x)=f(x)-2x2+mx,其中m∈R,求g(x)在区间[l,3]上的最小值
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=3x2-6x-5. (1)求不等式f(x)>4的解集; (2)设g(x)=f(x)-2x2+mx,其中m∈R,求g(x)在区间[l,3]上的最小值; (3)若对于任意的a∈[1,2],关于x的不等式f(x)≤x2-(2a+6)x+a+b在区间[1,3]上恒成立,求实数b的取值范围. |
答案
(1)不等式 f(x)>4 即3x2-6x-9>0 解得x>3,或x<-1 ∴不等式 f(x)>4的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞) (2)g(x)=f(x)-2x2+mx=x2+(m-6)x-5 其图象是开口朝上,且以x=为对称轴的抛物线 当>3,即m<0时,g(x)的最小值为g(3)=3m-14 当1≤≤3,即0≤m≤4时,g(x)的最小值为g()= 当<1,即m>4时,g(x)的最小值为g(1)=m-10 (3)若不等式f(x)<x2-(2a+6)x+a+b在x∈[1,3]上恒成立, 即不等式2x2+2ax-5-a-b<0在x∈[1,3]上恒成立, 令h(x)=2x2+2ax-5-a-b ∵a∈[1,2],故h(x)图象的对称轴x=-∈[-1,-] ∴当x=3时,函数h(x)取最大值5a-b+13 故只须a∈[1,2]时,5a-b+13≤0恒成立即可; 即当a∈[1,2]时,b≥5a+13恒成立, ∴实数b的取值范围是[23,+∞) |
举一反三
已知函数f(x)是定义在(-2,2)上的减函数,且为奇函数.使 f(m)+f(2m-1)>0.求实数m的取值范围. |
设f(x)是定义在R上的增函数,且对于任意的x都有f(-x)+f(x)=0恒成立.如果实数m、n满足不等式f(m2-6m+21)+f(n2-8n)<0,那么m2+n2 的取值范围是( )A.(9,49) | B.(13,49) | C.(9,25) | D.(3,7) |
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已知任意数x满足f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,且x>0时,f′(x)>0,g′(x)>0,则x<0时( )A.f′(x)>0,g′(x)>0 | B.f′(x)>0,g′(x)<0 | C.f′(x)<0,g′(x)>0 | D.f′(x)<0,g′(x)<0 |
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已知奇函数f(x)在[0,+∞)单调递增,则满足f(2x-1)<f(x2-x+1)的x的取值范围是( )A.(-∞,1)∪(2,+∞) | B.(-∞,-2)∪(-1,+∞) | C.(1,2) | D.(-2,-1) |
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已知函数f(x)=x(lnx+m),g(x)=x3+x. (1)当m=-2时,求f(x)的单调区间; (2)若m=时,不等式g(x)≥f(x)恒成立,求实数a的取值范围. |
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