设函数f(x)=ax+lnx,g(x)=a2x2;(1)当a=-1时,求函数y=f(x)图象上的点到直线x-y+3=0距离的最小值;(2)是否存在正实数a,使得
题型:解答题难度:一般来源:锦州三模
设函数f(x)=ax+lnx,g(x)=a2x2; (1)当a=-1时,求函数y=f(x)图象上的点到直线x-y+3=0距离的最小值; (2)是否存在正实数a,使得不等式f(x)≤g(x)对一切正实数x都成立?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由. |
答案
(1)由f(x)=-x+lnx,得f′(x)=-1+,令f"(x)=1,得x= ∴所求距离的最小值即为P(,f())到直线x-y+3=0的距离 d==(4+ln2) (2)假设存在正数a,令F(x)=f(x)-g(x)(x>0),则F(x)max≤0 由F′(x)=a+-2a2x=0得x=∵x>时,F′(x)<0, ∴F(x)为减函数; 当0<x<时,F′(x)>0, ∴F(x)为增函数 ∴F(x)max=F() ∴ln≤0即a≥1 所以a的取值范围是[1,+∞) |
举一反三
(文)设f(x)是定义在(-π,0)∪(0,π)上的奇函数,其导函数为f"(x).当0<x<π时, f"(x)•cosx-sinx•f(x)>0,则不等式f(x)•cosx>0的解集为______. |
已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调递增函数,则不等式f(1)<f(lgx)的解集为______. |
已知函数f(x) 是定义在R 上的奇函数,且当x≥0 时,f(x)=x2+4x.若f(2-a2)>f(a),则实数a 的取值范围是______. |
已知函数f(x)=x2+ (x≠0,常数k∈R). (1)判断函数f(x) 的奇偶性,并证明你的结论; (2)若k=8,证明:当a>3 时,关于x 的方程f(x)=f(a) 有三个实数解. |
已知f(x)=,g(x)=x+a (a>0) (1)当a=4时,求||的最小值 (2)当1≤x≤4时,不等式||>1恒成立,求a的取值范围. |
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