解析:(Ⅰ)由1+x>0得函数f(x)的定义域为(-1,+∞), f′(x)=2x+2-=. 由f′(x)>0得x>0;由f′(x)<0得-1<x<0, ∴函数f(x)的递增区间是(0,+∞);递减区间是(-1,0). (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)在[-1,0]上递减,在[0,e-1]上递增. ∴f(x)min=f(0)=0 又∵f(-1)=+1,f(e-1)=e2-3,且e2-3>+1, ∴x∈[-1,e-1]时,f(x)max=e2-3. ∵不等式m<f(x)≤-m2+2m+e2恒成立, ∴ | -m2+2m+e2≥f(x)max | m<f(x)min |
| | , 即⇒⇒⇒-1≤m<0 ∵m是整数,∴m=-1. ∴存在整数m,使不等式m<f(x)≤-m2+2m+e2恒成立. (Ⅲ)由f(x)=x2+x+a得x-a-2ln(1+x)=0,x∈[0,2] 令g(x)=x-a-2ln(1+x),则g′(x)=1-=,x∈[0,2] 由g′(x)>0得1<x≤2;由g′(x)<0得0≤x<1. ∴g(x)在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增. ∵方程f(x)=x2+x+a在[0,2]上恰有两个相异的实根, ∴函数g(x)在[0,1)和(1,2]上各有一个零点, ∴⇒⇒⇒1-2ln2<a≤2-2ln3, ∴实数a的取值范围是1-2ln2<a≤2-2ln3 |