已知函数f(x)=ax+x2-xlna(a>1).(Ⅰ)试讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ)若函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,试求t的值;(Ⅲ)若存在x1

已知函数f(x)=ax+x2-xlna(a>1).(Ⅰ)试讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ)若函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,试求t的值;(Ⅲ)若存在x1

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=ax+x2-xlna(a>1).
(Ⅰ)试讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)若函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,试求t的值;
(Ⅲ)若存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1,试求a的取值范围.
答案
(Ⅰ)f"(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna.
∵f"(0)=0,且a>1.
当x>0时,lna>0,ax-1>0⇒f"(x)>0,
故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当x<0时,lna>0,ax-1<0⇒f"(x)<0.
故函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.
(Ⅱ)当a>1时,由(Ⅰ)可知:f(x)在x=0处取得最小值,又函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,所以方程f(x)=t±1有三个根,
而t+1>t-1,所以t-1=(f(x))min=f(0)=1,由此可解得:t=2.
(Ⅲ)因为存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1,
因此当x∈[-1,1]时,有:|(f(x))max-(f(x))min|=(f(x))max-(f(x))min≥e-1.
又由(Ⅰ)知:f(x)在[-1,0]上单调递减,在[0,1]上单调递增,
故当x∈[-1,1]时,(f(x))min=f(0)=1,(f(x))max=max{f(-1),f(1)},
f(1)-f(-1)=(a+1-lna)-(
1
a
+1+lna)=a-
1
a
-2lna

g(t)=t-
1
t
-2lnt (t≥1)
,因为g(t)′=1+
1
t2
-
2
t
=(
1
t
-1)2≥0
(当t=1时取等号)
因此g(t)=t-
1
t
-2lnt
在t∈[1,+∞)上单调递增,而g(1)=0,故当t>1时,g(t)>0;即当a>1时,f(1)>f(-1)
由f(1)-f(0)≥e-1⇒a-lna≥e-1⇒a≥e,综上所述,所求a的取值范围为[e,+∞).
举一反三
对于定义在R上的函数f(x),有下述命题:
①若f(x)是奇函数,则f(x-1)的图象关于点A(1,0)对称;
②若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,则f(x)为偶函数;
③若对x∈R,有f(x-1)=-f(x),则f(x)的周期为2;
④函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关于直线x=0对称.
其中正确命题的序号是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
若函数y=f(x)为奇函数,则它的图象必经过点(  )
A.(0,0)B.(-a,-f(a))C.(a,f(-a))D.(-a,-f(-a))
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=xlnx+ax(a∈R).
(1)若a=0,求f(x)的最小值;
(2)若对任意x∈[1,+∞),都有f(x)≥-1成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=
1+lnx
x

(1)确定f(x)的单调区间;
(2)如果当x≥1时,不等式f(x)≥
k2-k
x+1
恒成立,求实数k的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=
1
x3
-x
的图象关于(  )
A.y轴对称B.直线y=-x对称
C.坐标原点对称D.直线y=x对称
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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