已知函数f(x)=xlnx+ax(a∈R).(1)若a=0,求f(x)的最小值;(2)若对任意x∈[1,+∞),都有f(x)≥-1成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=xlnx+ax(a∈R). (1)若a=0,求f(x)的最小值; (2)若对任意x∈[1,+∞),都有f(x)≥-1成立,求实数a的取值范围. |
答案
f(x)的定义域为(0,+∞). …1分 (Ⅰ)当a=0时,f(x)=xlnx,f"(x)=1+lnx. …2分 令f"(x)>0,解得x>; 令f"(x)<0,解得0<x<. 从而f(x)在(0,)单调递减,在(,+∞)单调递增. 所以,当x=时,f(x)取得最小值-. …4分 (Ⅱ)依题意,得f(x)≥-1在[1,+∞)上恒成立,即f(x)=xlnx+ax≥-1成立, 即不等式a≥-(lnx+)对于x∈[1,+∞)恒成立. 设g(x)=lnx+,则g′(x)=-=. 当x>1时,因为g′(x)=>0, 故g(x)在[1,+∞)上是增函数, 所以 g(x)的最小值是g(1)=1,从而-g(x)的最大值是-g(1)=-1. …8分 所以a的取值范围是[-1,+∞). |
举一反三
已知函数f(x)= (1)确定f(x)的单调区间; (2)如果当x≥1时,不等式f(x)≥恒成立,求实数k的取值范围. |
函数f(x)=-x的图象关于( )A.y轴对称 | B.直线y=-x对称 | C.坐标原点对称 | D.直线y=x对称 |
|
已知函数f(x)=图象上斜率为3的两条切线间的距离为,函数g(x)=f(x)-+3. (1)若函数g(x)在x=1处有极值,求g(x)的解析式; (2)若函数g(x)在区间[-1,1]上为增函数,且b2-mb+4≥g(x)在x∈[-1,1]时恒成立,求实数m的取值范围. |
设f(x)是R上的奇函数,且当x∈[0,+∞)时,f(x)=x(1+),则当x∈(-∞,0)时,f(x)=______. |
已知x=1为函数f(x)=(x2-ax+1)ex的一个极值点. (1)求a及函数f(x)的单调区间; (2)若对于任意x∈[-2,2],t∈[1,2],f(x)≥t2-2mt+2恒成立,求m取值范围. |
最新试题
热门考点