已知定义域为R的函数f(x)对任意的x,y∈R,f(x)≠0,且f(x+y)=f(x)f(y)(1)求f(0)的值;(2)若f(x)为单调函数,f(1)=2,向

已知定义域为R的函数f(x)对任意的x,y∈R,f(x)≠0,且f(x+y)=f(x)f(y)(1)求f(0)的值;(2)若f(x)为单调函数,f(1)=2,向

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知定义域为R的函数f(x)对任意的x,y∈R,f(x)≠0,且f(x+y)=f(x)f(y)
(1)求f(0)的值;
(2)若f(x)为单调函数,f(1)=2,向量


a
=(


2
cos
θ
2
,1)


b
=(


2
λsin
θ
2
,cos2θ)
,是否存在实数λ,对任意θ∈[0,2π),f(


a


b
)-f(3)≤0
恒成立?若存在,求出λ的取值范围;若不存在,说明理由.
答案
(1)令x=y=0得,f(0)=f(0)f(0),
∵f(x)≠0,∴f(0)=1.
(2)∵f(0)=1,f(1)=2,且f(x)为单调函数,
∴f(x)是增函数,


a


b
=λsinθ+cos2θ,f(


a


b
)-f(3)≤0
∴f(λsinθ+cos2θ)≤f(3)
又∵f(x)是增函数,
∴对任意θ∈[0,2π),λsinθ+cos2θ≤3恒成立,
即sin2θ-λsinθ+2≥0恒成立,…(*)
令t=sinθ,得t2-λt+2≥0
∵θ∈[0,2π),∴-1≤sinθ≤1,即-1≤t≤1,
令h(t)=t2-λt+2=(t-
λ
2
)
2
+2-
λ2
4
(-1≤t≤1),
①当
λ
2
<-1时,即λ<-2时,只要h(-1)≥0,则(*)恒成立,
∵h(-1)=λ+3≥0,∴-3<λ<-2;
②当-1≤
λ
2
≤1时,即-2≤λ≤2时,只要h(
λ
2
)≥0,则(*)恒成立,
∵h(
λ
2
)=2-
λ2
4
≥0,∴-2


2
≤λ≤2


2

∴-2≤λ≤2;
③当
λ
2
>1时,即λ>2时,只要h(1)≥0,则(*)恒成立,
∵h(1)=3-λ≥0,∴∴2<λ≤3;
综上:存在-3≤λ≤3,满足题目要求.
举一反三
已知f(x)=tanx-cos(x+m)为奇函数,且m满足不等式m2-3m-10<0,则m的值为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
下列函数中,既是偶函数,又是在区间(0,+∞)上单调递减的函数是(  )
A.y=-lnx.B.y=x2C.y=2-|x|D.y=cosx.
题型:单选题难度:简单| 查看答案
f(x)是以2为周期的偶函数,且当x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,则实数k的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
定义在R上的偶函数y=f(x)在[0,+∞)上递减,且f(
1
2
)
=0,则满足f(log
1
4
x)<0
的x的集合为(  )
A.(-∞,
1
2
)∪(2,+∞)
B.(
1
2
,1)∪(1,2)
C.(
1
2
,1)∪(2,+∞)
D.(0,
1
2
)∪(2,+∞)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=ax+x2-xlna(a>1).
(Ⅰ)试讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)若函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,试求t的值;
(Ⅲ)若存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1,试求a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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