设f（x）是R上的奇函数，对任意实数x都有f（x+2）=-f（x），当-1≤x≤1时，f（x）=x3（1）求证：x=1是函数f（x）的一条对称轴（2）证明函数f
题型：解答题难度：一般来源：上海模拟
设f（x）是R上的奇函数，对任意实数x都有f（x+2）=-f（x），当-1≤x≤1时，f（x）=x3
（1）求证：x=1是函数f（x）的一条对称轴
（2）证明函数f（x）是以4为周期的函数，并求x∈[1，5]时，f（x）的解析式． |
答案
（1）证明：因为奇函数，所以f（x+2）=-f（x）=f（-x）对任意实数X成立．
又因为x+2，-x关于直线x=1对称，
故：直线x=1是函数f（x）图象上的一条对称轴
（2）证明：因为：f（x+2）=-f（x）
所以：f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x）
∴f（x）是以4为最小正周期的周期函数因为：直线x=1是函数f（x）图象上的一条对称轴；
所以：1≤x≤3的图象与-1≤x≤1的图象关于直线x=1对称．
故：f（x）=-（x-2）3，1≤x≤3；
∵f（x）是以4为最小正周期的周期函数
∴3≤x≤5的图象与-1≤x≤1的图象
∴f（x）=（x-4）3，3≤x≤5．
∴f（x）= | | -(x-2)3 1≤x≤3 | | (x-4)3 3＜x≤5 |
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举一反三
已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）同时满足如下三个条件：①对于任意x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②当x＞1时，f（x）＜0；③f（3）=-1
（1）计算f（9），f()的值；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上为减函数；
（3）有集合A={（x0，y0）|f（x02+1）-f（5y0）-2＞0，x0，y0∈（0，+∞）}，B={(x0，y0)|f()+=0，x0，y0∈(0，+∞)}．问：是否存在（x0，y0）使（x0，y0）∈A∩B． |
函数y=f（x）的图象为C，而C关于直线x=1的对称图象为C1，将C1向左平移一个单位后得到C2，则C2所对应的函数为（ ）| A．y=f（-x） | B．y=f（1-x） | C．y=f（2-x） | D．y=f（3-x） |
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若函数f（x）同时具有以下两个性质：①f（x）是偶函数；②对任意实数x，都有f(+x)=f(-x)，则f（x）的解析式可以是（ ）| A．f（x）=cos2x | B．f(x)=cos(2x+) | | C．f（x）=cos6x | D．f(x)=sin(4x+) |
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已知一次函数f（x）=ax-2
（I）当a=3时，解不等式|f（x）|＜4；
（II）解关于x的不等式|f（x）|＜4；
（III）若不等式|f（x）|≤3对任意x∈（0，1]恒成立，求实数a的取值范围． |
| 数列{an}中，an=n2-kn，若对任意的正整数n，an≥a3都成立，则k的取值范围是______． |
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