已知函数f（x）=ln（ex+a）（a＞0）．（1）求函数y=f（x）的反函数y=f-1（x）及f（x）的导数f′（x）；（2）假设对任意x∈[ln（3a），l
题型：解答题难度：一般来源：辽宁
已知函数f（x）=ln（ex+a）（a＞0）．
（1）求函数y=f（x）的反函数y=f-1（x）及f（x）的导数f′（x）；
（2）假设对任意x∈[ln（3a），ln（4a）]，不等式|m-f-1（x）|+ln（f′（x））＜0成立，求实
数m的取值范围． |
答案
（1）、设y=ln（ex+a），a＞0，则ey=ex+a，∴ex=ey-a，a＞0，∴x=ln（ey-a），x，y互换得到函数y=f（x）的反函数f-1（x）=ln（ex-a），x∈R；f′（x）=．
（2）、由|m-f-1（x）|+ln（f"（x））＜0得ln（ex-a）-ln（ex+a）+x＜m＜ln（ex-a）+ln（ex+a）-x．
设ϕ（x）=ln（ex-a）-ln（ex+a）+x，ψ（x）=ln（ex-a）+ln（ex+a）-x，
于是原不等式对于x∈[ln（3a），ln（4a）]恒成立等价于ϕ（x）＜m＜ψ（x）．
由ϕ′(x)=-+1，ψ′(x)=+-1，注意到0＜ex-a＜ex＜ex+a，故有ϕ"（x）＞0，ψ"（x）＞0，从而可ϕ（x）与ϕ（x）均在[ln（3a），ln（4a）]上单调递增，因此不等式ϕ（x）＜m＜ψ（x）成立当且仅当ϕ（ln（4a））＜m＜ψ（ln（3a））．即ln(a)＜m＜ln(a). |
举一反三
| f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f（2）=0．则方程f（x）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ） |
已知、分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量，=a•+2（a∈R），对任意正整数n，=51•+3•2n-1．
（1）若⊥，求a的值；
（2）求向量；
（3）设向量=xn•+yn•，求最大整数a的值，使对任意正整数n，都有xn＜yn成立． |
下列说法不正确的序号是 ______．
（1）函数y=（a＞0，a≠1）是奇函数；
（2）函数f(x)=（a＞0，a≠1）是偶函数；
（3）若f（x）=3x，则f（x+y）=f（x）f（y）；
（4）若f（x）=ax（a＞0，a≠1），且x1≠x2，则[f(x1)+f(x2)]＜f()． |
| 设函数f(x)=在x=0处连续，则实数a的值为 ． |
| 若函数y=f（x） （x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈（-1，1]时，f（x）=|x|．则函数y=f（x）的图象与函数y=log4|x|的图象的交点的个数为（ ） |
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