已知函数f(x)=ln(ex+a)(a>0).(1)求函数y=f(x)的反函数y=f-1(x)及f(x)的导数f′(x);(2)假设对任意x∈[ln(3a),l

已知函数f(x)=ln(ex+a)(a>0).(1)求函数y=f(x)的反函数y=f-1(x)及f(x)的导数f′(x);(2)假设对任意x∈[ln(3a),l

题型:解答题难度:一般来源:辽宁
已知函数f(x)=ln(ex+a)(a>0).
(1)求函数y=f(x)的反函数y=f-1(x)及f(x)的导数f′(x);
(2)假设对任意x∈[ln(3a),ln(4a)],不等式|m-f-1(x)|+ln(f′(x))<0成立,求实
数m的取值范围.
答案
(1)、设y=ln(ex+a),a>0,则ey=ex+a,∴ex=ey-a,a>0,∴x=ln(ey-a),x,y互换得到函数y=f(x)的反函数f-1(x)=ln(ex-a),x∈R;f′(x)=
ex
ex+a

(2)、由|m-f-1(x)|+ln(f"(x))<0得ln(ex-a)-ln(ex+a)+x<m<ln(ex-a)+ln(ex+a)-x.
设ϕ(x)=ln(ex-a)-ln(ex+a)+x,ψ(x)=ln(ex-a)+ln(ex+a)-x,
于是原不等式对于x∈[ln(3a),ln(4a)]恒成立等价于ϕ(x)<m<ψ(x).
ϕ′(x)=
ex
ex-a
-
ex
ex+a
+1,ψ′(x)=
ex
ex-a
+
ex
ex+a
-1
,注意到0<ex-a<ex<ex+a,故有ϕ"(x)>0,ψ"(x)>0,从而可ϕ(x)与ϕ(x)均在[ln(3a),ln(4a)]上单调递增,因此不等式ϕ(x)<m<ψ(x)成立当且仅当ϕ(ln(4a))<m<ψ(ln(3a)).即ln(
12
5
a)<m<ln(
8
3
a).
举一反三
f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数,且f(2)=0.则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是(  )
A.5B.4C.3D.2
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知


i


j
分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量,


OB1
=a•


i
+2


j
(a∈R),对任意正整数n,


BnBn+1
=51•


i
+3•2n-1


j

(1)若


OB1


B2B3
,求a的值;
(2)求向量


OBn

(3)设向量


OBn
=xn


i
+yn


j
,求最大整数a的值,使对任意正整数n,都有xn<yn成立.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
下列说法不正确的序号是 ______.
(1)函数y=
ax-a-x
2
(a>0,a≠1)是奇函数;
(2)函数f(x)=
(ax+1)x
ax-1
(a>0,a≠1)是偶函数;
(3)若f(x)=3x,则f(x+y)=f(x)f(y);
(4)若f(x)=ax(a>0,a≠1),且x1≠x2,则
1
2
[f(x1)+f(x2)]<f(
x1+x2
2
)
题型:填空题难度:简单| 查看答案
设函数f(x)=







1+x
-1
x
,(x≠0)
a,(x=0)
在x=0处连续,则实数a的值为  .
题型:填空题难度:一般| 查看答案
若函数y=f(x) (x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈(-1,1]时,f(x)=|x|.则函数y=f(x)的图象与函数y=log4|x|的图象的交点的个数为(  )
A.3B.4C.6D.8
题型:单选题难度:简单| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.