(Ⅰ)∵f(x)=+1,∴f′(x)=,x∈(0,π). 设g(x)=xcos x-sin x,x∈(0,π),则g′(x)=-xsin x<0(∵x∈(0,π)). ∴g(x)在(0,π)上为减函数,又∵g(0)=0, ∴x∈(0,π)时,g(x)<0, ∴f′(x)=<0, ∴f(x)在(0,π)上是减函数.(6分) (Ⅱ)∵(+)2=1+2, ∴x=3或4时,(+)2min=1, ∴(+)min=1. 又0≤a≤+对一切x∈[3,4]恒成立, ∴0≤a≤1. (Ⅲ)证明:显然当a=0,1或x=0,π时,不等式成立. 当0<a<1且0<x<π,原不等式等价于(1-a)sin(1-a)x≥(1-2a)sin x.(10分) 下面证明一个更强的不等式:(1-a)sin(1-a)x≥(1-2a+a2)sin x=(1-a)2sin x ① 即sin(1-a)x≥(1-a)sin x. ② 亦即 ≥. 由(1)知 在(0,π)上是减函数, 又∵(1-a)x<x,∴>.(12分) ∴不等式②成立,从而①成立. 又∵(1-2a+a2)sin x>(1-2a)sin x,∴(1-a)sin(1-a)x>(1-2a)sin x. 综上,∴0≤x≤π且0≤a≤1时,原不等式成立.(14分) |