已知偶函数y=f（x）（x∈R）在区间[-1，0]上单调递增，且满足f（1-x）+f（1+x）=0，给出下列判断：①f（5）=0；②f（x）在[1.2]上是减函
题型：单选题难度：简单来源：不详
已知偶函数y=f（x）（x∈R）在区间[-1，0]上单调递增，且满足f（1-x）+f（1+x）=0，给出下列判断：
①f（5）=0；
②f（x）在[1.2]上是减函数；
③f（x）的图象关于直线x=1对称；
④函数y=f（x）在x=0处取得最大值；
⑤函数y=f（x）没有最小值（x∈R）．
其中正确论断的序号是（ ） |
答案
由f（1-x）+f（1+x）=0得到f（1+x）=-f（1-x）=-f（x-1），所以f（2+x）=f（x），所以函数的周期是2．
当x=0时，f（1）+f（1）=0，所以f（1）=0，因为f（5）=f（4+1）=f（1）=0，所以①正确．
因为y=f（x）（x∈R）在区间[-1，0]上单调递增，周期为2，所以函数在在区间[1，2]上单调递增，所以②错误．
因为y=f（x）是偶函数，所以f（2+x）=f（x）=f（-x），所以对称轴为x=1，所以f（x）的图象关于直线x=1对称，所以③正确．
因为偶函数y=f（x）（x∈R）在区间[-1，0]上单调递增，则在[0，1]上单调递减，且周期为2，所以y=f（x）在x=0处取得最大值，在x=-1时取得最小值．所以④正确，⑤错误．
故选A． |
举一反三
| 设函数f（x）=（x-a）2lnx，a∈R，e为自然对数的底数，e=2.7182…，如果对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立，求a的取值范围． |
已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）求实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数．
（1）求a的值；
（2）若g（x）≤t2+λt+1在x∈[-1，1]及λ所在的取值范围上恒成立，求t的取值范围；
（3）讨论关于x的方程=x2-2ex+m的根的个数． |
| 已知函数f（x）是R上的奇函数，当x＜0时，f(x)=x2-3asin，且f(3)=6，则实数a=______． |
| 已知f（x）是偶函数，且当x＞0时，f（x）=x2-2x，则当x＜0时，f（x）=______． |
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