(1)如果两个实数u<v,求证:2u<v2-u2v-u<2v.(2)定义 设函数F(x)和f(x)都在区间I上有定义,若对I的任意子区间[u,v],总有[u,
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(1)如果两个实数u<v,求证:2u<v2-u2v-u<2v.(2)定义 设函数F(x)和f(x)都在区间I上有定义,若对I的任意子区间[u,v],总有[u,
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
(1)如果两个实数u<v,求证:
2u<
v
2
-
u
2
v-u
<2v
.
(2)定义 设函数F(x)和f(x)都在区间I上有定义,若对I的任意子区间[u,v],总有[u,v]上的p和q,使有不等式
f(p)≤
F(u)-F(v)
u-v
≤f(q)
成立,则称F(x)是f(x)在区间I上的甲函数,f(x)是F(x)在区间I上的乙函数.
请根据乙函数定义证明:在(0,+∞)上,函数
g(x)=
1
2
x
是
f(x)=
x
的乙函数.
答案
(1)证:由u<v有 2u<u+v<2v. 即
2u<
v
2
-
u
2
v-u
<2v
(2 )证明:对0<u<v有
f(v)-f(u)
v-u
=
v
-
u
v-u
=
1
v
+
u
不等式
g(v)=
1
2
v
≤
1
u
+
v
≤
1
2
u
=g(u)
表明,
g(x)=
1
2
x
是
f(x)=
x
的乙函数.
举一反三
已知函数f(x)=xlnx.
(Ⅰ)求f(x)的最小值;
(Ⅱ)若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)满足:
f(1)=
1
4
,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则f(2010)=______.
题型:填空题
难度:简单
|
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定义在(-∞,+∞)上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,下面是关于f(x)的判断:
①f(x)关于点
P(
1
2
,0)
对称
②f(x)的图象关于直线x=1对称;
③在[0,1]上是增函数;
④f(2)=f(0).
其中正确的判断是______.(把你认为正确的判断都填上)
题型:填空题
难度:一般
|
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2
-km+1)恒成立,则实数k的取值范围为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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3
a)
2
-6(log
3
a)x+5x+7在区间[0,1]上的函数值恒为正实数,则a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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