已知f(x)是二次函数,对任意x∈R都满足f(x+1)-f(x)=-2x+1,且f(0)=1.(1)求f(x)的解析式;(2)如果函数y=f(x)的图象恒在y=
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)是二次函数,对任意x∈R都满足f(x+1)-f(x)=-2x+1,且f(0)=1. (1)求f(x)的解析式; (2)如果函数y=f(x)的图象恒在y=-x+m的图象下方,求实数m的取值范围; (3)如果m∈[-1,1]时,不等式f(x)>mx+1恒成立,求实数x的取值范围. |
答案
(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),…..1 分 ∵f(0)=1 ∴c=1,….(2分) 又f(x+1)-f(x)=2ax+a+b=-2x+1, ∴a=-1,b=2,….(2分) 故f(x)=-x2+2x+1….(1分) (2)由题意-x2+2x+1<-x+m在x∈R上恒成立,即m>-x2+3x+′1在R上恒成立. 令g(x)=-x2+3x+1易知g(x)max=g()=,所以m>.…(4分) 说明:此题若直接用△做同样得满分. (3)因为m∈[-1,1]时,不等式f(x)>mx+1恒成立, 即mx+x2-2x<0在m∈[-1,1]上恒成立. 令g(m)=mx+(x2-2x), 则由 ∴0<x<1….(4分) |
举一反三
已知函数f(x)=(a为非零常数),定义:f1(x)=f(x),fk+1(x)=f[fk(x)],k∈N*,例如:f2(x)=f[f(x)],f3(x)=f[f2(x)],… (1)当a=2时,求f2(1),f3(-)的值; (2)若对于任意x≠-1,等式f2(x)=x恒成立,求a的值; (3)当a确定后,fk(x),k∈N*的值都由x的值确定.当a=2时,试通过对fk(x)的探究,写出一个使得集合{fk(x)}为有限集的真命题(不必证明). |
已知下列函数①y=4x2②y=x③y=x2-4x④y=|x+|⑤y=-⑥y=2|x|.其中在其定义域上是偶函数,又在区间(1,+∞)上单调递增函数的有______(写出你认为正确的所有答案). |
若定义在(-5,log2a2)上的函数y=f(x)是偶函数,则实数a=______. |
已知函数f(x)的周期为2,当x∈(-1,1]时,f(x)=x2,则当x∈(3,5]时,f(x)=______. |
已知函数y=f(x)为奇函数,若f(3)-f(2)=1,则f(-2)-f(-3)=______. |
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