已知函数f(x)满足下列条件:(1)函数f(x)定义域为[0,1];(2)对于任意x∈[0,1],f(x)≥0,且f(0)=0,f(1)=1;(3)对于满足条件
题型:解答题难度:一般来源:东城区二模
已知函数f(x)满足下列条件:(1)函数f(x)定义域为[0,1];(2)对于任意x∈[0,1],f(x)≥0,且f(0)=0,f(1)=1;(3)对于满足条件x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1的任意两个数x1,x2,有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2). (Ⅰ)证明:对于任意的0≤x≤y≤1,有f(x)≤f(y); (Ⅱ)证明:对于任意的0≤x≤1,有f(x)≤2x; (Ⅲ)不等式f(x)≤1.9x对于一切x∈[0,1]都成立吗? |
答案
(Ⅰ)证明:对于任意的0≤x≤y≤1, 则0≤y-x≤1,∴f(y-x)≥0. ∴f(y)=f(y-x+x)≥f(y-x)+f(x)≥f(x). ∴对于任意的0≤x≤y≤1,有f(x)≤f(y).(5分) (Ⅱ)由已知条件可得f(2x)≥f(x)+f(x)=2f(x), ∴当x=0时,f(0)=0≤2×0, ∴当x=0时,f(x)≤2x. 假设存在x0∈(0,1],使得f(x0)>2x0, 则x0一定在某个区间x0∈(,]上. 设x0∈(,], 则f(2x0)>4x0,f(4x0)>8x0,┅,f(2k-1x0)>2kx0. 由x0∈(,]; 可知<2k-1x0≤1,且2kx0>1, ∴f(2k-1x0)≤f(1)=1, 又f(2k-1x0)>2kx0>1. 从而得到矛盾,因此不存在x0∈(0,1],使得f(x0)>2x0. ∴对于任意的0≤x≤1,有f(x)≤2x.(10分) (Ⅲ)取函数f(x)= 则f(x)显然满足题目中的(1),(2)两个条件. 任意取两个数x1,x2,使得x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1, 若x1, x2∈[0,], 则f(x1+x2)≥0=f(x1)+f(x2). 若x1,x2分别属于区间[0,]和(,1]中一个, 则f(x1+x2)=1=f(x1)+f(x2), 而x1,x2不可能都属于(,1]. 综上可知,f(x)满足题目中的三个条件. 而f(0.51)=1>1.9×0.51=0.969. 即不等式f(x)≤1.9x并不对所有x∈[0,1]都成立.(14分) |
举一反三
已知函数f(x)=lg(5x++m)的值域为R,则m的取值范围是______. |
已知数列{xn}中,x1,x5是方程log22x-8log2x+12=0的两根,等差数列{yn}满足yn=log2xn,且其公差为负数, (1)求数列{yn}的通项公式; (2)证明:数列{xn}为等比数列; (3)设数列{xn}的前n项和为Sn,若对一切正整数n,Sn<a恒成立,求实数a的取值范围. |
若不等式(a-1)x2-(a-1)x-1<0对一切的x∈R恒成立,则实数a的取值范围是______. |
先给出如下四个函数: ①f(x)=x2,-1<x≤1 ②f(x)=x|x| ③f(x)= ④f(x)= 其中奇函数的序号为______. |
已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(X)=x2-2x-3,则f(0)=( 0 ),当x<0时,f(x)=______. |
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