(1)f(x)在区间(1,+∞)上的单调递减.证明如下: 任取1<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=log2 ∵-1= ∵1<x1<x2,∴>0 ∴>1 ∴f(x1)-f(x2)>0 ∴f(x)在区间(1,+∞)上的单调递减; (2)h(x)=g(2x+2)+kx=log2(2x+1)+kx,定义域为R 假设存在这样的k使得函数h(x)为偶函数,则h(x)-h(-x)=0恒成立 即log2(2x+1)+kx-log2(2-x+1)+kx=0,化简得(1+2k)x=0 ∴k=-使得函数h(x)为偶函数. (3)首先函数F(x)的定义域是(1,p) F(x)=log2(x+1)(p-x)=log2[-x2+(p-1)x+p]=log2[-(x-)2+],显然< ①当≤1,即1<p≤3时,t=-(x-)2+在(1,p)上单调减,g(p)<t<g(1),即0<t<2p-2, ∴f(x)<1+log2(p-1),函数f(x)的值域为(-∞,log2(p-1)); ②当1<<,即p>3时,t=-(x-)2+在(1,)上单调递增,在(,p)上单调递减,即0<t≤, ∴f(x)≤2log2(p+1)-2,函数f(x)的值域为(-∞,2log2(p+1)-2). 综上:当1<p≤3时,函数f(x)的值域为(-∞,log2(p-1));当p>3时,函数f(x)的值域为(-∞,2log2(p+1)-2). |