(A类)定义在R上的函数y=f(x),对任意的a,b∈R,满足f(a+b)=f(a)•f(b),当x>0时,有f(x)>1,其中f(1)=2(1)求f(0)、f
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(A类)定义在R上的函数y=f(x),对任意的a,b∈R,满足f(a+b)=f(a)•f(b),当x>0时,有f(x)>1,其中f(1)=2(1)求f(0)、f
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
(A类)定义在R上的函数y=f(x),对任意的a,b∈R,满足f(a+b)=f(a)•f(b),当x>0时,有f(x)>1,其中f(1)=2
(1)求f(0)、f(-1)的值; (2)证明y=f(x)在(0,+∞)上是增函数;(3)求不等式f(x+1)<4的解集.
(B类)已知定义在R上的奇函数
f(x)=
-
2
x
+b
2
x+1
+a
.
(1)求a,b的值;
(2)若不等式
-
m
2
+(k+2)m-
3
2
<f(x)<
m
2
+2km+k+
5
2
对一切实数x及m恒成立,求实数k的取值范围;
(3)定义:若存在一个非零常数T,使得f(x+T)=f(x)对定义域中的任何实数x都恒成立,那么,我们把f(x)叫以T为周期的周期函数,它特别有性质:对定义域中的任意x,f(x+nT)=f(x),(n∈Z).若函数g(x0是定义在R上的周期为2的奇函数,且当x∈(-1,1)时,g(x)=f(x)-x,求方程g(x)=0的所有解.
答案
A类
(1)在f(a+b)=f(a)•f(b)中
令a=1,b=0,则有:f(1)=f(1)•f(0)
因为当x>0时,有f(x)>1,所以f(1)>1,∴f(0)=1 …(2分)
令a=1,b=-1,则f(0)=f(1)•f(-1),得出f(-1)=
f(0)
f(1)
=
1
2
…(4分)
(2)任意x
1
,x
2
∈(0,+∞),且x
1
<x
2
,则f(x
2
)-f(x
1
)=f(x
2
-x
1
+x
1
)-f(x
1
)
=f(x
2
-x
1
)•f(x
1
)-f(x
1
)=f(x
1
)(f(x
2
-x
1
)-1).
由于0<x
1
<x
2
,所以f(x
1
)>1,f(x
2
-x
1
)-1>0
所以f(x
2
)-f(x
1
)>0,f(x
2
)>f(x
1
).
y=f(x)在(0,+∞)上是增函数.…(8分)
(3)∵f(1)=2
∴f(2)=f(1)•f(1)=4
由已知,当x<0时,
f(0)=f(x)f(-x)=1,得出f(x)=
1
f(-x)
<1.…(10分)
故①.当x+1<0即x<-1时,f(x+1)<1<4不等式恒成立. …(11分)
②.当x+1=0即x=-1时,f(x+1)=1<4 …(12分)
③.当x+1>0即x>-1时,由(2)知道须x+1<2,解得-1<x<1 …(13分)
综上:不等式f(x+1)<4的解集为{x|x<1}.…(14分)
B类:
(1)由f(0)=0,得b=1,f(-1)=-f(1),得a=2
(2)
f(x)=
-
2
x
+1
2
x+1
+2
=
-
1
2
+
1
2
x
+1
得出-
1
2
<f(x)<
1
2
…(5分)
即
-
m
2
+(k+2)m-
3
2
≤-
1
2
m
2
+2km+k+
5
2
≥
1
2
对m∈R恒成立,即
m
2
-(k+2)m+1≥ 0
m
2
+2km+k+2≥0
对m∈R恒成立 …(7分)
∴
△=
(k+2)
2
-4≤0
△=
(2k)
2
-4(k+2)≤0
…(9分)
解得-1≤k≤0 …(10分)
(3)x∈(-1,1),而g(x)=f(x)-x=
-
1
2
+
1
2
x
+1
-x在(-1,1)内单减.
且g(0)=0,故在(-1,1)内,g(x)=0有唯一的根x=0,又g(x)周期为2,对k∈Z,
g(x+2k)=g(x),所以在(2k-1,2k+1)内有唯一根x=2k
由g(-1)=g(-1+2)得-g(1)=g(1),g(1)=0
应有g(2k+1)=0,即还有解x=2k+1,
综上:g(x)=0 的所有解为x=k(k∈Z)
举一反三
若函数f(x)=x
2
-|x+a|为偶函数,则实数a=______.
题型:填空题
难度:简单
|
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已知函数f(x)=x
3
+log
2
1+x
1-x
,且f(1-a)+f(1-a
2
)<0,则a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x|x-2|,求当x<0时,f(x)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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若f(x)满足f(-x)=f(x),且在(-∞,-1]上是增函数,则( )
A.
f(-
3
2
)<f(-1)<f(2)
B.
f(-1)<f(-
3
2
)<f(2)
C.
f(2)<f(-1)<f(-
3
2
)
D.
f(2)<f(-
3
2
)<f(-1)
题型:单选题
难度:一般
|
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下列判断正确的是( )
A.函数
f(x)=x+
x
2
-1
是非奇非偶函数
B.函数
f(x)=(1-x)
1+x
1-x
是偶函数
C.函数
f(x)=
x
2
-2x
x-2
是奇函数
D.函数f(x)=1既是奇函数又是偶函数
题型:单选题
难度:简单
|
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