设定义在区间[x1,x2]上的函数y=f(x)的图象为C,M是C上的任意一点,O为坐标原点,设向量OA=(x1,f(x1)),OB=(x2,  f(x2)),O

设定义在区间[x1,x2]上的函数y=f(x)的图象为C,M是C上的任意一点,O为坐标原点,设向量OA=(x1,f(x1)),OB=(x2,  f(x2)),O

题型:解答题难度:一般来源:扬州模拟
设定义在区间[x1,x2]上的函数y=f(x)的图象为C,M是C上的任意一点,O为坐标原点,设向


OA
=(x1,f(x1)),


OB
=(x2,  f(x2))


OM
=(x,y),当实数λ满足x=λ x1+(1-λ) x2时,记向量


ON


OA
+(1-λ)


OB
.定义“函数y=f(x)在区间[x1,x2]上可在标准k下线性近似”是指“|


MN
|≤
k恒成立”,其中k是一个确定的正数.
(1)设函数 f(x)=x2在区间[0,1]上可在标准k下线性近似,求k的取值范围;
(2)求证:函数g(x)=lnx在区间[em,em+1](m∈R)上可在标准k=
1
8
下线性近似.
(参考数据:e=2.718,ln(e-1)=0.541)
答案
(1)由


ON


OA
+(1-λ)


OB
得到


BN


BA

所以B,N,A三点共线,(2分)
又由x=λx1+(1-λ)x2与向量


ON


OA
+(1-λ)


OB
,得N与M的横坐标相同.(4分)
对于[0,1]上的函数y=x2,A(0,0),B(1,1),
则有|


MN
|=x-x2=-(x-
1
2
)2+
1
4
,故|


MN
|∈[0,  
1
4
]

所以k的取值范围是[
1
4
,+∞)
.(6分)
(2)对于[em,em+1]上的函数y=lnx,
A(em,m),B(em+1,m+1),(8分)
则直线AB的方程y-m=
1
em+1-em
(x-em)
,(10分)
h(x)=lnx-m-
1
em+1-em
(x-em)
,其中x∈[em,em+1](m∈R),
于是h′(x)=
1
x
-
1
em+1-em
,(13分)
列表如下:
举一反三
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xem(em,em+1-emem+1-em(em+1-em,em+1em+1
h"(x)+0-
h(x)0h(em+1-em0
已知函数f(x)=lnx,g(x)=
a
x
(a>0)
,设F(x)=f(x)+g(x)
(1)求F(x)的单调区间;
(2)若以y=F(x)(x∈(0,3])图象上任意一点P(x0,y0)为切点的切线的斜率k≤
1
2
恒成立,求实数a的最小值;
(3)若对所有的x∈[e,+∞)都有xf(x)≥ax-a成立,求实数a的取值范围.
已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=2x-3,则当x<0时,f(x)=______.
已知a为常数,f(x)=lg(
a
1+x
-1)
是奇函数.
(1)求a的值,并求出f(x)的定义域;
(2)解不等式f(x)>-1.
已知函数f(x)=x2-alnx,g(x)=bx-


x
+2,其中a,b∈R且ab=2.函数f(x)在[
1
4
,1
]上是减函数,函数g(x)在[
1
4
,1]
上是增函数.
(1)求函数f(x),g(x)的表达式;
(2)若不等式f(x)≥g(x)对x∈[
1
4
,1]
恒成立,求实数m的取值范围.
(3)求函数h(x)=f(x)+g(x)-
1
2
x
的最小值,并证明当n∈N*,n≥2时f(n)+g(n)>3.
已知:二次函数f(x)=ax2+bx+c满足:①对于任意实数x,都有f(x)≥x,且当x∈(1,3)时,f(x)≤
1
8
(x+2)2
恒成立,②f(-2)=0
(1)求证:f(2)=2
(2)求f(x)的解析式.
(3)若g(x)=x+m,对于任意x∈[-2,2],存在x0∈[-2,2],使得f(x)=g(x0)成立,求实数m的取值范围.