函数f(x)=xx+1,数列{an}满足:an>0,a1=1,an+1=f(an),n∈N*.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若bn=2an+1,对任意正
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函数f(x)=xx+1,数列{an}满足:an>0,a1=1,an+1=f(an),n∈N*.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若bn=2an+1,对任意正
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
函数
f(x)=
x
x+1
,数列{a
n
}满足:
a
n
>0,
a
1
=1,
a
n+1
=f(
a
n
),n∈
N
*
.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)若
b
n
=
2
a
n
+1
,对任意正整数n,不等式
k
n+1
(1+
1
b
1
)(1+
1
b
2
)(1+
1
b
3
)…(1+
1
b
n
)
-
k
n
2+
b
n
≤0
恒成立,求正数k的取值范围.
答案
(Ⅰ)∵f(x)=
x
x+1
,∴a
n+1
=
a
n
a
n
+1
,∴
1
a
n+1
-
1
a
n
=1
∴数列{
1
a
n
}是首项
1
a
1
=1,公差d=1的等差数列,
1
a
n
=1+(n-1)=n
∴a
n
=
1
n
.
(Ⅱ)由已知得k≤
(1+
1
3
)(1+
1
5
)…(1+
1
2n+1
)
2n+3
设c
n
=
(1+
1
3
)(1+
1
5
)…(1+
1
2n+1
)
2n+3
则
c
n+1
c
n
=
2n+4
2n+3
•
2n+5
>1,所以数列{c
n
}递增,
∴c
n
的最小值为c
1
=
4
5
15
,
∴只需0<k≤
4
5
15
举一反三
已知f(x)=x
5
+ax
3
+bx-8且f(-2)=10,那么f(2)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
函数y=x
3
+x的图象( )
A.关于原点对称
B.关于x轴对称
C.关于y轴对称
D.关于直线y=x对称
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
下列函数为偶函数的是( )
A.y=x+1
B.y=2
x
C.y=log
2
x
D.y=x
4
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=x
3
+sinx,x(-1,1),如果f(1-m)+f(1-m
2
)<0,则m的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
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已知奇函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,则满足f(2x-1)+f(x+3)<0的x的取值范围是______.
题型:填空题
难度:简单
|
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