已知函数f(x)=x2(x-a)+bx(Ⅰ)若a=3,b=l,求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)若b=a+103,函数f(x)在(1,+∞)
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已知函数f(x)=x2(x-a)+bx(Ⅰ)若a=3,b=l,求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)若b=a+103,函数f(x)在(1,+∞)
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=x
2
(x-a)+bx
(Ⅰ)若a=3,b=l,求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)若b=a+
10
3
,函数f(x)在(1,+∞)上既能取到极大值又能取到极小值,求a的取值范围;
(Ⅲ)若b=0,不等式
f(x)
x
2
-
1nx+1≥0对任意的
x∈[
1
2
,+∞)
恒成立,求a的取值范围.
答案
(Ⅰ)若a=3,b=l,则f(x)=x
3
-3x
2
+x,∴f′(x)=3x
2
-6x+1
∴f′(1)=3×1
2
-6+1=-2,f(1)=-1
∴函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y+1=-2(x-1),即y=-2x+1;
(Ⅱ)∵b=a+
10
3
,∴f(x)=x
3
-ax
2
+(a+
10
3
)x,∴f′(x)=3x
2
-2ax+a+
10
3
∵函数f(x)在(1,+∞)上既能取到极大值又能取到极小值,
∴
4
a
2
-12(a+
10
3
)>0
2a
6
>1
3-2a+a+
10
3
>0
,∴5<a<
19
3
;
(Ⅲ)若b=0,则f(x)=x
2
(x-a)
∴不等式
f(x)
x
2
-
1nx+1≥0对任意的
x∈[
1
2
,+∞)
恒成立,可化为x-lnx+1≥a对任意的
x∈[
1
2
,+∞)
恒成立,
设g(x)=x-lnx+1,则g′(x)=1-
1
x
令g′(x)<0,∵x≥
1
2
,∴可得
1
2
≤x<1
;g′(x)>0,∵x≥
1
2
,∴可得x>1
∴g(x)在
[
1
2
,1)
上单调递减,在(1,+∞)上单调递增
∴g(x)的最小值为g(1)=2
∴a≤2.
举一反三
已知函数
f(x)=
1
4
x
+2
(x∈R)
.
(Ⅰ)证明
f(x)+f(1-x)=
1
2
;
(Ⅱ)若数列{a
n
}的通项公式为
a
n
=f(
n
m
)(m∈
N
*
,n=1,2,…,m)
,求数列{a
n
}的前m项和S
m
;
(Ⅲ)设数列{b
n
}满足:
b
1
=
1
3
,
b
n+1
=
b
2n
+
b
n
,设
T
n
=
1
b
1
+1
+
1
b
2
+1
+…+
1
b
n
+1
,若(Ⅱ)中的S
m
满足对任意不小于2的正整数n,S
m
<T
n
恒成立,试求m的最大值
题型:解答题
难度:一般
|
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设定义在区间(-b,b)上的函数
f(x)=lg
1+ax
1-2x
是奇函数(a,b∈R,且a≠-2),则a
b
的取值范围是( )
A.
(1
,
2
]
B.
[
2
2
,
2
]
C.
(1
,
2
)
D.
(0
,
2
)
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数y=f(x)是定义在上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2
x-1
-3,则f(f(1))=______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
函数f(x)是定义域为R的奇函数,且x>0时,f(x)=9
x
-3x-1,则函数f(x)的零点个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:单选题
难度:简单
|
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设函数f(x)=
2
x
(x<0)
g(x)(x>0)
,若f(x)是奇函数,则g(2)的值是 ______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
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