已知函数y=f(x)的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f(a+b)= f(a)+ f(b)，且当x＞0时，f(x)＜0恒成立，证明：（1）函数y=f(x)是

题型：解答题难度：一般来源：0113 期末题

已知函数y=f(x)的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f(a+b)= f(a)+ f(b)，且当x＞0时，f(x)＜0恒成立，证明：
（1）函数y=f(x)是R上的减函数；
（2）函数y=f(x)是奇函数。

答案

证明：（1）设，则，
又，
∴，
∴函数是R上的减函数。
（2）由，得，
即，
又，
∴，
即函数是奇函数。