解:(1)由恒成立等价于恒成立……1分 从而得:,化简得,从而得, 所以,………3分 其值域为.………………………………………………4分 (2)解:当时,数列在这个区间上是递增数列,证明如下: 设,则, 所以对一切,均有;………………………………………7分
,从而得,即, 所以数列在区间上是递增数列.………10分 注:本题的区间也可以是、、等无穷多个. 另解:若数列在某个区间上是递增数列,则 即…7分 又当时,, 所以对一切,均有且, 所以数列在区间上是递增数列.…………………10分 (3)(文科)由(2)知,从而; , 即; ………12分 令,则有且; 从而有,可得,所以数列是以为首项,公比为的等比数列,……14分 从而得,即, 所以 , 所以, 所以, ………………16分 所以, . ………………………18分 (3)(理科)由(2)知,从而; , 即;………12分 令,则有且; 从而有,可得,所以数列是为首项,公比为的等比数列,………………………14分 从而得,即, 所以 , 所以,所以, 所以, .…………………………16分 即,所以,恒成立 当为奇数时,即恒成立,当且仅当时,有最小值为。 当为偶数时,即恒成立,当且仅当时,有最大值为。[ ∴,对任意,有。又非零整数,……………18分 |