已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,(a≠0),且不等式f(x)<2x的解集为(-1,2).(1)方程f(x)+3a=0有两个相等的实根,求f(x)的解析式

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,(a≠0),且不等式f(x)<2x的解集为(-1,2).(1)方程f(x)+3a=0有两个相等的实根,求f(x)的解析式

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,(a≠0),且不等式f(x)<2x的解集为(-1,2).
(1)方程f(x)+3a=0有两个相等的实根,求f(x)的解析式.
(2)f(x)的最小值不大于-3a,求实数a的取值范围.
(3)a如何取值时,函数y=f(x)-(x2-ax+m)(|m|>1)存在零点,并求出零点.
答案
∵f(x)<2x的解集为(-1,2).
∴ax2+(b-2)x+c<0的解集为(-1,2).…(1分)
∴a>0,且方程ax2+(b-2)x+c=0的两根为-1和2.





a-b+2+c=0
4a+2b-4+c=0
,所以





b=2-a
c=-2a

所以f(x)=ax2+(2-a)x-2a,(a>0)…(2分)
(1)∵方程f(x)+3a-0有两个相等的实根,即ax2+(2-a)x+a=0有两个相等的实根
∴△=(2-a)2-4a2=0,即3a2+4a-4=0,
∴a=-2或a=
2
3
…(3分)
∵a>0,∴a=
2
3
,∴f(x)=
2
3
x2+
4
3
x-
4
3
…(4分)
(2)f(x)=ax2+(2-a)x-2a=a(x+
2-a
2a
)
2
+
-8a2-(2-a)2
4a

∵a>0,∴f(x)的最小值为
-8a2-(2-a)2
4a
,…(5分)
-8a2-(2-a)2
4a
≤-3a

即3a2+4a-4≤0,即-2≤a≤
2
3
,…(7分)
∵a>0,∴0<a≤
2
3
…(8分)
(3)由y=f(x)-(x2-ax+m)(|m|>1),得(a-1)x2+2x-(2a+m)=0(※)
①当a=1时,方程(※)有一解x=
m
2
+1

函数=f(x)-(x2-ax+m)有一零点x=
m
2
+1
,…(9分)
②当a≠1时,△=4[2a2+(m-2)a+(1-m)]
方程(※)有一解则△=4[2a2+(m-2)a+(1-m)]=0,令1=4m2+4m-4≥0
得m≥2


2
-2
m≤-2


2
-2
,∵|m|>1,即m>1或m<-1,
i)当m>1,a=
2-m+


4m2+4m-4
4
时,(a=
2-m-


4m2+4m-4
4
(负根舍去)),
函数y=f(x)-(x2-ax+m)有一零点x=
1
1-a
.…(10分)
ii)当m≤-2


2
-2
时,a的两根都为正数∴当a=
2-m+


4m2+4m-4
4
a=
2-m-


4m2+4m-4
4
时,函数y=f(x)-(x2-ax+m)有一零点x=
1
1-a
.(11分)
ⅲ)当-2


2
-2<m<-1
时,1=4m2+4m-4<0,∴△>0
③方程(※)有二解,所以△=4[2a2+(m-2)a+(1-m)]>0,
1)若m>1,1=4m2+4m-4>0a>
2-m+


4m2+4m-4
4
时,
a=
2-m-


4m2+4m-4
4
(负根舍去)),函数y=f(x)-(x2-ax+m)
有两个零点x1,2=
-2±


4[2a2+(m-2)a+(1-m)]
2(a-1)
=
-1±


2a2+(m-2)a+(1-m)
a-1
;…(12分)
2)当m<-2


2
-2
时,1=4m2+4m-4>0,a的两根都为正数,
∴当a>
2-m+


4m2+4m-4
4
0<a<
2-m-


4m2+4m-4
4
时,
函数y=f(x)-(x2-ax+m)有两个零点x1,2=
-1±


2a2+(m-2)a+(1-m)
a-1
.…(13分)
ⅲ)当-2


2
-2≤m<-1
时,1=4m2+4m-4≤0,∴△>0恒成立,
∴a取大于0(a≠1)的任意数,函数y=f(x)-(x2-ax+m)有两个零点x1,2=
-1±


2a2+(m-2)a+(1-m)
a-1
…(14分)
举一反三
函数y=ax2+bx与y=log|
b
a
|
x
(ab≠0,|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是(  )
A.B.C.D.
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数y=x2-bx+2(x∈(-∞,1))是单调函数,则b的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知当x∈[0,2]时,函数y=x2-2ax+a2-2a+2有最小值5,求实数a的值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x2+ax+3-a,a∈R.
(1)求a的取值范围,使y=f(x)在闭区间[-1,3]上是单调函数;
(2)当a=-1时,求该函数在[0,3]上的最大值和最小值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
二次函数y=x2+ax+b的图象过点(2,2),且对于任意实数x,恒有y≥x,求实数a、b的值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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