(文)已知函数f(x)=x3+ax2-ax-1(a>0),设f′(x)的最小值为-43(I)求a的值;(II)求f(x)在[-1,m]上的最大值g(m).

(文)已知函数f(x)=x3+ax2-ax-1(a>0),设f′(x)的最小值为-43(I)求a的值;(II)求f(x)在[-1,m]上的最大值g(m).

题型:解答题难度:一般来源:不详
(文)已知函数f(x)=x3+ax2-ax-1(a>0),设f′(x)的最小值为-
4
3

(I)求a的值;
(II)求f(x)在[-1,m]上的最大值g(m).
答案
(I)∵f(x)=x3+ax2-ax-1(a>0),
∴f′(x)=3x2+2ax-a=3(x+
a
3
2-
a2
3
-a

∵f′(x)的最小值为-
4
3

∴当x=-
a
3
时,f′(x)取最小值-
a2
3
-a
=-
4
3

解得a=1或a=-4(舍)
故a的值为1.…(4分)
(II)f(x)=x3+x2-x-1=(x+1)2(x-1),
f′(x)=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1),…(6分)
当x变化时,f′(x)、f(x)的变化如下表:
举一反三
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x(-∞,-1)1(-1,
1
3
1
3
1
3
,+∞)
f′(x)+0-0+
f(x)极大值0
极小值
-
32
27

已知开口向上的二次函数f(x),对任意x∈R,恒有f(2-x)=f(2+x)成立,设向量a=(|x+2|+|2x-1|,1),b=(1,2).求不等式f(a•b)<f(5)的解集.
从1,2,3,…9这9个整数中任意取3个不同的数作为二次函数f(x)=ax2+bx+c的系数,则满足
f(1)
2
∈Z的函数f(x)共有(  )
A.263个B.264个C.265个D.266个
已知二次函数f(x)=x2+ax+b(a、b∈R).
(1)若函数f(x)无零点,求证:b>0;
(2)若函数f(x)有两个零点,且两零点是相邻两整数,求证:f(-a)=
1
4
(a2-1)

(3)若函数f(x)有两非整数零点,且这两零点在相邻两整数之间,试证明:存在整数k,使得|f(k)|<
1
4
已知二次函数f(x)=ax2+bx+1为偶函数,且f(-1)=-1.
(I)求函数f(x)的解析式;
(II)若函数g(x)=f(x)+(2-k)x在区间[-2,2]上单调递减,求实数k的取值范围.
实数a,b满足2a+b=5,则ab的最大值为______.