若函数f(x)=-x2+(a+2)x+2+b,log2f(1)=2,且g(x)=f(x)-2x为偶函数.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在区间
题型:解答题难度:一般来源:不详
若函数f(x)=-x2+(a+2)x+2+b,log2f(1)=2,且g(x)=f(x)-2x为偶函数. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)在区间[m,+∞)的最大值为3-3m,求m的值. |
答案
(1)因为log2f(1)=2,所以f(1)=4,即-1+a+2+2+b=4,即a+b=1. 又g(x)=f(x)-2x=-x2+(a+2)x+2+b-2x═-x2+ax+2+b, 因为g(x)=f(x)-2x为偶函数,所以a=0,解得b=1. 所以f(x)=-x2+2x+3. (2)因为f(x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,对称轴为x=1. 当m≥1,f(x)max=-m2+2m+3=3-3m,可得m=5. 当m<1,f(x)max=4=3-3m,可得m=-. 综合得m=5或m=-. |
举一反三
已知函数f(x)=2mx2-2(4-m)x+1,g(x)=mx,设集合M={m|∀x∈R,f(x)与g(x)的值中至少有一个为正数}. (Ⅰ)试判断实数0是否在集合M中,并给出理由; (Ⅱ)求集合M. |
已知函数y=2x2+5x-12,x∈[-1,2]的最大值和最小值分别是M和m,则M+m=______. |
函数f(x)=4x2-ax3在(0,2]上是增函数,则a的取值范围是______. |
已知a,b,c∈R,且a<b<c,函数f(x)=ax2+2bx+c满足f(1)=0,f(t)=-a,(t∈R且t≠1) (Ⅰ)求证:a<0,c>0; (Ⅱ) 求的取值范围. |
设二次函数f(x)=ax2+(2b+1)x-a-2(a,b∈R,a≠0)在[3,4]上至少有一个零点,求a2+b2的最小值. |
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