已知函数f(x)=x|x-a|,(a∈R)(1)若a>0,解关于x的不等式f(x)<x;(2)若对∀x∈(0,1]都有f(x)<m(m∈R,m是常数),求a的取

已知函数f(x)=x|x-a|,(a∈R)(1)若a>0,解关于x的不等式f(x)<x;(2)若对∀x∈(0,1]都有f(x)<m(m∈R,m是常数),求a的取

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=x|x-a|,(a∈R)
(1)若a>0,解关于x的不等式f(x)<x;
(2)若对∀x∈(0,1]都有f(x)<m(m∈R,m是常数),求a的取值范围.
答案
(1)∵f(x)=x|x-a|,
∴不等式f(x)<x即为x|x-a|<x
10显然x≠0,
20当x>0时原不等式可化为:|x-a|<1⇒-1<x-a<1⇒a-1<x<a+1
当a-1≥0即a≥1时得不等式的解为:a-1<x<a+1
当a-1<0即0<a<1时得不等式的解为:0<x<a+1
30当x<0时原不等式可化为:|x-a|>1⇒x-a>1或x-a<-1⇒x>a+1或x<a-1
当a≥1时,得不等式的解为x<0
当0<a<1时,得不等式的解为:x<a-1
综上得:当a≥1时,原不等式的解集为{x|x<0}∪{x|a-1<x<a+1}
当0<a<1时,原不等式的解集为{x|x<a-1}∪{x|0<x<a+1}
(2)∵对∀x∈(0,1]都有f(x)<m,显然m>0
即-m<x(x-a)<m⇒对∀x∈(0,1],-
m
x
<x-a<
m
x
恒成立⇒对∀x∈(0,1],x-
m
x
<a<x+
m
x
恒成立
设g(x)=x-
m
x
,x∈(0,1],p(x)=x+
m
x
,x∈(0,1]
则对∀x∈(0,1],x-
m
x
<a<x+
m
x
恒成立⇔g(x)max<a<p(x)min,x∈(0,1]
∵g(x)"=1+
m
x2
,当x∈(0,1]时g(x)">0
∴函数g(x)在(0,1]上单调递增,∴g(x)max=1-m
又∵p(x)"=1-
m
x2
=
(x-


m
)(x+


m
)
x2



m
≥1即m≥1时,对于x∈(0,1],p(x)"<0
∴函数p(x)在(0,1]上为减函数,
∴p(x)min=p(1)=1+m


m
<1,即0<m<1时,
x∈(0,


m
]
,p(x)"≤0
x∈(


m
,1]
,p(x)">0
∴在(0,1]上,p(x)min=p(


m
)=2


m

(或当0<m<1时,在(0,1]上,p(x)=x+
m
x
≥2


x•
m
x
=2


m
,当x=


m
时取等号)
又∵当0<m<1时,要g(x)max<a<p(x)min即1-m<a<2


m
还需满足2


m
>1-m解得3-2


2
<m<1
∴当3-2


2
<m<1时,1-m<a<2


m

当m≥1时,1-m<a<1+m.
举一反三
已知f(x)=x2-4x,g(x)=m2x-1(m∈R).
(1)求当x∈[0,3]时f(x)的最大值和最小值;
(2)对∀x1∈[-1,1],∃x0∈[0,3],使g(x1)=f(x0),求m的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=2x2+ax-1,g(log2x)=x2-
x
2a-2

(1)求函数g(x)的解析式,并写出当a=1时,不等式g(x)<8的解集;
(2)若f(x)、g(x)同时满足下列两个条件:①∃t∈[1,4]使f(-t2-3)=f(4t) ②∀x∈(-∞,a],g(x)<8.
求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
若对于任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
函数f(x)=x2-2(2a-1)x+8(a∈R).
(1)若f(x)在[2,+∞)的最小值为6,求a的值.
(2)若f(x)在[a,+∞)上为单调递增函数,且f(x)>0,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
定义算式⊗:x⊗y=x(1-y),若不等式(x-a)⊗(x+a)<1对任意x都成立,则实数a的取值范围是(  )
A.-1<a<1B.0<a<2C.-
3
2
<a<
1
2
D.-
1
2
<a<
3
2
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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