设函数g(x)=13x3+12ax2-bx(a,b∈R),在其图象上一点P(x,y)处的切线的斜率记为f(x).(1)若方程f(x)=0有两个实根分别为-2和4
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设函数g(x)=13x3+12ax2-bx(a,b∈R),在其图象上一点P(x,y)处的切线的斜率记为f(x).(1)若方程f(x)=0有两个实根分别为-2和4
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
设函数
g(x)=
1
3
x
3
+
1
2
a
x
2
-bx(a,b∈R)
,在其图象上一点P(x,y)处的切线的斜率记为f(x).
(1)若方程f(x)=0有两个实根分别为-2和4,求f(x)的表达式;
(2)若g(x)在区间[-1,3]上是单调递减函数,求a
2
+b
2
的最小值.
答案
(1)根据导数的几何意义知f(x)=g"(x)=x
2
+ax-b
由已知-2、4是方程x
2
+ax-b=0的两个实数
由韦达定理,
-2+4=-a
-2×4=-b
∴
a=-2
b=8
,f(x)=x
2
-2x-8(7分)
(2)g(x)在区间[-1,3]上是单调减函数,
所以在[-1,3]区间上恒有f(x)=g"(x)=x
2
+ax-b≤0,即f(x)=x
2
+ax-b≤0在[-1,3]恒成立
这只需满足
f(-1)≤0
f(3)≤0
即可,也即
a+b≥1
b-3a≥9
而a
2
+b
2
可视为平面区域
a+b≥1
b-3a≥9
内的点到原点距离的平方,其中点(-2,3)距离原点最近,
所以当
a=-2
b=3
时,a
2
+b
2
有最小值13.(14分)
举一反三
已知向量
a
=(cos
3x
2
,sin
3x
x
),
b
=(cos
x
2
,-sin
x
2
),x∈[0,
π
2
]
,
(1)用x的式子来表示
a
•
b
及
|
a
+
b
|
;
(2)求函数
f(x)=
a
•
b
-4|
a
+
b
|
的值域.
题型:解答题
难度:一般
|
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y=
1
6000
x
3
-
1
40
x
2
+
5
4
x
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题型:解答题
难度:一般
|
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已知二次函数f(x)=ax
2
+bx-3(a≠0)满足f(2)=f(4),则f(6)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=log
a
(x
2
+2ax+1)的值域为R,则a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:简单
|
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已知函数f(x)=x
2
-2ax+a的定义域为(1,+∞),且存在最小值-2;(1)求实数a的值;(2)令
g(x)=
f(x)
x
,求函数y=g(x)的最值.
题型:解答题
难度:一般
|
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