已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),x∈R,F(x)=f(x)(x>0)-f(x)(x<0)(1)若f(-1)=0且函数f(x)的值域为[0,+
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已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),x∈R,F(x)=f(x)(x>0)-f(x)(x<0)(1)若f(-1)=0且函数f(x)的值域为[0,+
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=ax
2
+bx+1(a,b为实数),x∈R,F(x)=
f(x)(x>0)
-f(x)(x<0)
(1)若f(-1)=0且函数f(x)的值域为[0,+∞),求F(x)的表达式;
(2)设mn<0,m+n>0,a>0,且f(x)为偶函数,判断F(m)+F(n)能否大于零?并说明理由.
答案
(1)∵f(-1)=0∴a-b+1=0
又x∈R,f(x)≥0恒成立,
∴
a>0
△=
b
2
-4a=0
∴b
2
-4(b-1)=0∴a=1,b=2
∴f(x)=x
2
+2x+1
∴
F(x)=
(
x+1)
2
,x>0
-(
x+1)
2
,x<0
(2)∵f(x)为偶函数,
∴f(x)=ax
2
+1
∴
F(x)=
a
x
2
+1,x>0
-a
x
2
-1,x <0
∵mn<0设m>n,则m>0,n<0
又m+n>0
∴m>-n>0
∴|m|>|-n|,
∴F(m)+F(n)=f(m)-f(n)=am
2
+1-(an
2
+1)=a(m
2
-n
2
)>0
∴F(m)+F(n)能大于零.
举一反三
已知二次函数f(x)的二次项系数是a,且不等式f(x)>O的解集为(1,2),若f(x)的最大值小于l,则a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:简单
|
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已知两个非零向量
a
=(m-1,n-1),
b
=(m-3,n-3)
,且
a
与
b
的夹角是钝角或直角,则m+n的取值范围是( )
A.
[
2
,3
2
]
B.[2,6]
C.
(
2
,3
2
]
D.(2,6)
题型:单选题
难度:简单
|
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已知二次函数y=f(x)的图象为开口向下的抛物线,且对任意x∈R都有f(1-x)=f(1+x).若向量
a
=(
m
,-1
),
b
=(
m
,-2
),则满足不等式f(
a
•
b
)>f(-1)的m的取值范围为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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若f(x)=2x
2
-kx-8在[2,6]上不具有单调性,则正实数k的取值范围是 ______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知二次函数y=kx
2
-kx-2的图象与x轴没有交点,求k的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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