设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f′(x)，若函数y=f′(x)的图象关于直线x=对称，且f′(1)=0，(Ⅰ)求实数a，b的值；(Ⅱ)求函数f(x

题型：解答题难度：一般来源：重庆市高考真题

设f(x)=2x³+ax²+bx+1的导数为f′(x)，若函数y=f′(x)的图象关于直线x=对称，且f′(1)=0，
(Ⅰ)求实数a，b的值；
(Ⅱ)求函数f(x)的极值。

答案

解：(Ⅰ)，
∵若函数y=f′(x)的图象关于直线x=对称，且f′(1)=0，
∴且，解得a=3，b=-12。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
，
f(x)的变化如下：
 
∴当x=-2时，f(x)取极大值，极大值为21；
当x=1时，f(x)取极小值，极小值为-6。