设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f′(x),若函数y=f′(x)的图象关于直线x=对称,且f′(1)=0,(Ⅰ)求实数a,b的值;(Ⅱ)求函数f(x

设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f′(x),若函数y=f′(x)的图象关于直线x=对称,且f′(1)=0,(Ⅰ)求实数a,b的值;(Ⅱ)求函数f(x

题型:解答题难度:一般来源:重庆市高考真题
设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f′(x),若函数y=f′(x)的图象关于直线x=对称,且f′(1)=0,
(Ⅰ)求实数a,b的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的极值。
答案
解:(Ⅰ)
∵若函数y=f′(x)的图象关于直线x=对称,且f′(1)=0,
,解得a=3,b=-12。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知

f(x)的变化如下:
 
∴当x=-2时,f(x)取极大值,极大值为21;
当x=1时,f(x)取极小值,极小值为-6。
举一反三
已知a,b,c成公差不为零的等差数列,那么二次函数y=ax2+2bx+c的图象与x轴的交点个数为(    )。
题型:填空题难度:简单| 查看答案
若x∈(1,2),不等式x2+mx+4<0恒成立,求m取值范围,能否用不等式解决?
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已知x2+(m-3)x+m=0有一根大于1,而另一根小于1,那么实数m的取值范围为[     ]
A.(-∞,1)∪(9,+∞)
B.(1,9)
C.(-∞,1)
D.[1,+∞)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
在坐标平面上有两个区域M和N,M是由y≥0、y≤x和y≤2-x三个不等式来确定的,N是随t变化的区域,它由不等式t≤x≤t+1所确定,t的取值范围是0≤t≤1.设M和N的公共面积是函数f(t),
(1)求f(t)的表达式;
(2)若f(t)<m2-对t∈R恒成立,求m的取值范围.
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请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=xcm,
(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?
(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。
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