已知函数f(x)=x2-4x+a+3,g(x)=mx+5-2m。(1)若y=f(x)在[-1,1]上存在零点,求实数a的取值范围; (2)当a=0时,若对任意的
题型:解答题难度:困难来源:四川省月考题
已知函数f(x)=x2-4x+a+3,g(x)=mx+5-2m。 (1)若y=f(x)在[-1,1]上存在零点,求实数a的取值范围; (2)当a=0时,若对任意的x1∈[1,4],总存在x2∈[1,4],使f(x1)=g(x2)成立,求实数m的取值范围; (3)若函数y=f(x)(x∈[t,4])的值域为区间D,是否存在常数t,使区间D的长度为7-2t?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由(注:区间[p,q]的长度为q-p) |
答案
解:(1):因为函数f(x)=x2-4x+a+3的对称轴是x=2,所以f(x)在区间[-1,1]上是减函数, 因为函数f(x)在区间[-1,1]上存在零点, 则必有: 即 ,解得 , 故所求实数a的取值范围为[-8,0] ; (2)若对任意的x1∈[1,4],总存在x2∈[1,4],使f(x1)=g(x2)成立, 只需函数y=f(x)的值域为函数y=g(x)的值域的子集。 f(x)=x2-4x+3,x∈[1,4]的值域为[-1,3],下求g(x)=mx+5-2m的值域。 ①当m=0时,g(x)=5-2m为常数,不符合题意舍去; ②当m>0时,g(x)的值域为[5-m,5+2m], 要使[-1,3] [5-m,5+2m],需 ,解得m≥6; ③当m<0时,g(x)的值域为[5+2m,5-m], 要使[-1,3] [5+2m,5-m],需 ,解得m≤-3; 综上,m的取值范围为 。 (3)由题意知 ,可得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190819/20190819124456-97342.gif) ①当t≤0时,在区间[t,4]上,f(t)最大,f(2)最小, 所以f(t)-f(2)=7-2t,即t2-2t-3=0,解得t=-1或t=3(舍去); ②当0<t≤2时,在区间[t,4]上,f(4)最大,f(2)最小, 所以f(4)-f(2)=7-2t即4=7-2t,解得t= ; ③当2<t<时,在区间[t,4]上,f(4)最大,f(t)最小, 所以f(4)-f(t)=7-2t即t2-6t+7=0,解得t= (舍去); 综上所述,存在常数t满足题意,t=-1或 。 |
举一反三
设a为实数,函数f(x)=x2-2|x-a|-1,x∈R。 (1)若函数f(x)是偶函数,试求实数a的值; (2)在(1)条件下,写出函数f(x)的单调区间(不要求证明); (3)王平同学认为:无论a取任何实数,函数f(x)都不可能为奇函数。你同意他的观点吗?请说明理由。 |
某地西红柿从2月1日起开始上市。通过市场调查,得到西红柿种植成本Q(单位:元/102kg)与上市时间t(单位;天)的数据关系如下表: |
时间t | 50 | 110 | 250 | 种植成本Q | 150 | 108 | 150 | 已知函数f(x)=x2-4x+a+3,g(x)=mx+5-2m。 (1)若函数y=f(x)在区间[-1,1]上存在零点,求实数a的取值范围; (2)当a=0时,若对任意的x1∈[1,4],总存在x2∈[1,4],使 成立,求实数m 的取值范围。 | 函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上递减,则a的取值范围是 | [ ] | A.[-3,+∞] B.(-∞,-3) C.(-∞,5] D.[3,+∞) |
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