已知函数f（x）=x2-4x+a+3，g（x）=mx+5-2m。(1)若y=f（x）在[-1，1]上存在零点，求实数a的取值范围； (2)当a=0时，若对任意的

题型：解答题难度：困难来源：四川省月考题

已知函数f（x）=x²-4x+a+3，g（x）=mx+5-2m。
(1)若y=f（x）在[-1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；
(2)当a=0时，若对任意的x₁∈[1，4]，总存在x₂∈[1，4]，使f(x₁)=g(x₂)成立，求实数m的取值范围；
(3)若函数y=f(x)（x∈[t，4]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为7-2t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（注：区间[p，q]的长度为q-p）

答案

解：(1)：因为函数f（x）=x²-4x+a+3的对称轴是x=2，所以f（x）在区间[-1，1]上是减函数，
因为函数f（x）在区间[-1，1]上存在零点，
则必有：即，解得，
故所求实数a的取值范围为[-8，0] ；
(2)若对任意的x₁∈[1，4]，总存在x₂∈[1，4]，使f(x₁)=g(x₂)成立，
只需函数y=f(x)的值域为函数y=g(x)的值域的子集。
f（x）=x²-4x+3，x∈[1，4]的值域为[-1，3]，下求g(x)=mx+5-2m的值域。
①当m=0时，g(x)=5-2m为常数，不符合题意舍去；
②当m＞0时，g(x)的值域为[5-m，5+2m]，
要使[-1，3] [5-m，5+2m]，需，解得m≥6；
③当m＜0时，g(x)的值域为[5+2m，5-m]，
要使[-1，3] [5+2m，5-m]，需，解得m≤-3；
综上，m的取值范围为。
(3)由题意知，可得
①当t≤0时，在区间[t，4]上，f(t)最大，f(2)最小，
所以f(t)-f(2)=7-2t，即t²-2t-3=0，解得t=-1或t=3（舍去）；
②当0＜t≤2时，在区间[t，4]上，f(4)最大，f(2)最小，
所以f(4)-f(2)=7-2t即4=7-2t，解得t=；
③当2＜t＜时，在区间[t，4]上，f(4)最大，f(t)最小，
所以f(4)-f(t)=7-2t即t²-6t+7=0，解得t=（舍去）；
综上所述，存在常数t满足题意，t=-1或。