(1)证明:∵f(1)=1+b+c=-,∴b+c=-. ∴c=--b. ∴f(x)=x2+bx+c=x2+bx--b, 判别式△=b2-4(--b)=b2+4b+6 =(b+2)2+2>0恒成立,故函数f(x)有两个零点 (2)若x1,x2是函数f(x)的两个零点,则x1,x2是方程f(x)=0的两根 ∴x1+x2=-b,x1•x2=--b ∴|x1-x2|==≥ ∴|x1-x2|的取值范围为[,+∞) (3)f(0)=c,f(2)=4+2b+c,由(I)知b+c=-,∴f(2)=1-c. (i)当c>0时,有f(0)>0,而f(1)=-<0,故函数f(x)在区间(0,1)内有一个零点, 故在区间(0,2)内至少有一个零点. (ii)当c≤0时,f(1)<0,f(0)=c≤0,f(2)=1-c>0,∴函数f(x)在区间(1,2)内有一零点, 综合(i)(ii),可知函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点 |