已知函数f(x)=x|x-2m|,常数m∈R.(1)设m=0.求证:函数f(x)递增;(2)设m=-1.求关于x的方程f(f(x))=0的解的个数;(3)设m>
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=x|x-2m|,常数m∈R. (1)设m=0.求证:函数f(x)递增; (2)设m=-1.求关于x的方程f(f(x))=0的解的个数; (3)设m>0.若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值为m2,求正实数m的取值范围. |
答案
(1)由题意,f(x)=x|x|=, 任取x1,x2∈R,且x1<x2 当0≤x1<x2时,f(x1)-f(x2)=x12-x22<0; 当x1<x2≤0时,f(x1)-f(x2)=-x12+x22=|x2|2-|x12|<0 当x1<0<x2时,f(x1)-f(x2)=-x12-x22<0 综上所述,f(x)在的上为单调增函数. (2)当m=-1时,f(f(x))=f(x)|f(x)-2m|=0,可得f(x)=0或f(x)=2m=-2. 对于方程f(x)=0,可解得x=0或x=2m=-2 对于方程f(x)=-2,由x|x+2|=-2知x<0. 当x∈[-2,0)时,x|x+2|=x(x+2)=(x+1)2-1≥-1>-2,所以此时无解 当x∈(-∞,-2)时,x|x+2|=-x(x+2)=-2,解得x=-1±,结合x>-2的要求,得x=-1- 综上所述,m=-1时方程有且仅有3个实数解. (3)在区间(0,+∞)上,函数f(x)=x|x-2m|=|x(x-2m)|, 令g(x)=x(x-2m),它在(0,m)上递减,在上(m,+∞)递增 而在[0,+∞)上,f(x)= 根据二次函数g(x)的性质可知,f(x)在(0,m)上递增,在(m,2m)上递减,在(2m,+∞)上递增 当1∈(0,m]时,即当m≥1时,[f(x)]max=f(1)=2m-1,解得2m-1=m2,故此时m=1 当1∈(m,2m]时,即≤m<1时,此时,[f(x)]max=f(m)=m2,此时的m均满足题意. 当1∈(2m,+∞)时,即0<m<时,[f(x)]max为f(1)与f(m)中较大者, 而故f(m)=m2,f(1)=1-2m,故[f(x)]max=m2当且仅当m2≥1-2m 解这个不等式,得m≤-1-或m≥-1+ 最后将这个范围与0<m<进行交集运算,得m∈[-1,) 综上所述,实数m的取值范围是[-1,1] |
举一反三
设f(x)=,则满足f(x)=的x的值为______. |
已知函数f(x)=3x2+a,g(x)=2ax+1,a∈R. (1)证明函数H(x)=f(x)-g(x)恒有两个不同的零点; (2)若函数f(x)在(0,2)上无零点,请讨论函数y=|g(x)|在(0,2)上的单调性. |
已知函数f(x)=mx2+3(m-4)x-9,m为常数.判断函数f(x)是否存在零点,若存在,指出存在几个,并说明理由. |
设关于x的函数f(x)=4x-2x+1-b,若函数有零点,求实数b的取值范围. |
已知集合A={x|x2-x-k=0,x∈(-1,1)},若集合A有且仅有一个元素,则实数k的取值范围是( )A.(-,)∪{-} | B.(,) | C.[-,) | D.[-,+∞) |
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