已知函数f(x)=ax+1,x≤0log2x,x>0,则下列关于函数y=f(f(x))+1的零点个数的判断正确的是( )A.当a>0时,有4个零点;当a<0时
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已知函数f(x)=ax+1,x≤0log2x,x>0,则下列关于函数y=f(f(x))+1的零点个数的判断正确的是( )A.当a>0时,有4个零点;当a<0时
题型:单选题
难度:简单
来源:安徽模拟
已知函数f(x)=
ax+1,x≤0
log
2
x,x>0
,则下列关于函数y=f(f(x))+1的零点个数的判断正确的是( )
A.当a>0时,有4个零点;当a<0时,有1个零点
B.当a>0时,有3个零点;当a<0时,有2个零点
C.无论a为何值,均有2个零点
D.无论a为何值,均有4个零点
答案
分四种情况讨论.
(1)x>1时,log
2
x>0,∴y=f(f(x))+1=log
2
(log
2
x)+1,此时的零点为
2
(2)0<x<1时,log
2
x<0,∴y=f(f(x))+1=alog
2
x+1,则a>0时,有一个零点,a<0时,没有零点,
(3)若x<0,ax+1≤0时,y=f(f(x))+1=a
2
x+a+1,则a>0时,有一个零点,a<0时,没有零点,
(4)若x<0,ax+1>0时,y=f(f(x))+1=log
2
(ax+1)+1,则a>0时,有一个零点,a<0时,没有零点,
综上可知,当a>0时,有4个零点;当a<0时,有1个零点
故选A
举一反三
已知符号函数sgn=
1,x>0
0,x=0
-1,x<0
,则函数f(x)=sgn(lnx)-ln
2
x的零点个数为( )
A.4
B.3
C.2
D.1
题型:单选题
难度:一般
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函数
y=lnx-
1
2
x
2
的导函数的零点为( )
A.1或-1
B.-
1
2
C.
1
2
D.1
题型:单选题
难度:简单
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已知函数f(x)=sin2x+acos
2
x(a∈R,a为常数),且
π
4
是函数y=f(x)的零点.
(1)求a的值,并求函数f(x)的最小正周期;
(2)若x∈[0,
π
2
],求函数f(x)的值域,并写出f(x)取得最大值时x的值.
题型:解答题
难度:一般
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已知函数
f(x)=
1
3
a
x
3
+
1
2
b
x
2
+cx
.(a≠0)
(1)若函数f(x)有三个零点x
1
,x
2
,x
3
,且
x
1
+
x
2
+
x
3
=
9
2
,x
1
x
3
=-12,求函数 y=f(x)的单调区间;
(2)若
f′(1)=-
1
2
a
,3a>2c>2b,试问:导函数f′(x)在区间(0,2)内是否有零点,并说明理由.
(3)在(Ⅱ)的条件下,若导函数f′(x)的两个零点之间的距离不小于
3
,求
b
a
的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
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已知符号函数sgn(x)=
1,x>0
0,x=0
-1,x<0
,则函数f(x)=sgn(lnx)-lnx的零点个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:单选题
难度:简单
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