(1)由题意,函数的定义域为(0,+∞), 当a≤0时,f(x)=|x-a|-lnx=x-a-lnx,f′(x)=1->0, 函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),…3分 当a>0时,f(x)=|x-a|-lnx= | x-a-lnx ,x≥a | a-x-lnx, 0<x<a |
| | ,…5分 若x≥a,f′(x)=1-=>0,此时函数f(x)单调递增, 若x<a,f′(x)=-1-<0,此时函数f(x)单调递减, 综上,当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞); 当a>0时,函数f(x)的单调递减区间为(0,a);单调递增区间为(a,+∞). …7分 (2)由(1)知,当a≤0时,函数f(x)单调递增, 此时函数至多只有一个零点,不合题意; …8分 则必有a>0,此时函数f(x)的单调递减区间为(0,a);单调递增区间为(a,+∞), 由题意,必须f(a)=-lna<0,解得a>1,…10分 由f(1)=a-1-ln1=a-1>0,f(a)<0, 得x1∈(1,a),…12分 而f(a2)=a2-a-alna=a(a-1-lna), 下面证明:a>1时,a-1-lna>0 设g(x)=x-1-lnx,x>1 则g′(x)=1-=>0, 所以g(x)在x>1时递增,则g(x)>g(1)=0, 所以f(a2)=a2-a-alna=a(a-1-lna)>0, 又f(a)<0, 所以x2∈(a,a2), 综上,1<x1<a<x2<a2. …16分 |