设函数f(x)=ex+1,g(x)=(e-1)x+2(e是自然对数的底数).(1)判断函数H(x)=f(x)-g(x)零点的个数,并说明理由;(2)设数列{an
题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)=ex+1,g(x)=(e-1)x+2(e是自然对数的底数). (1)判断函数H(x)=f(x)-g(x)零点的个数,并说明理由; (2)设数列{an}满足:a1∈(0,1),且f(an)=g(an+1),n∈N*; ①求证:0<an<1; ②比较an与(e-1)an+1的大小. |
答案
(1)函数f(x)=ex+1,g(x)=(e-1)x+2,∴H(x)=f(x)-g(x)=ex-(e-1)x-1 ∴H′(x)=ex-(e-1), 令H′(x)=0,则x0=ln(e-1) 当x∈(-∞,x0)时,H′(x)<0,H(x)在(-∞,x0)单调递减 当x∈(x0,+∞)时,H′(x)>0,H(x)在(x0,+∞)单调递增 故H(x)min=H(x0)=ex0-(e-1)x0-1=e-1-(e-1)ln(e-1)-1 令t=e-1>1,函数h(t)=t-tlnt-1, 因为h′(t)=-lnt<0,所以函数h(t)=t-tlnt-1在(1,+∞)单调递减,故h(t)≤h(1)=0, 又e-1>1,故H(x0)<0,从而H(x)有两个零点; (2)①证明:因为f(an)=g(an+1),即ean+1=(e-1)an+1+2,所以an+1=(ean-1) 下面用数学归纳法证明an∈(0,1) 1°当n=1时,a1∈(0,1)成立; 2°假设当n=k时,ak∈(0,1),则ak+1=(eak-1) ∵ak∈(0,1),∴1<eak<e,∴0<<e-1 ∴0<ak+1<1 综上知,an∈(0,1); ②∵(e-1)an+1-an=ean-1-an, 考虑函数p(x)=ex-1-x(0<x<1) ∵p′(x)=ex-1>0, ∴p(x)在(0,1)上是增函数 故p(x)>p(0)=0 ∴(e-1)an+1-an>0 ∴(e-1)an+1>an. |
举一反三
已知函数f(x)=x2(x-3a)+(a>0,x∈R). (Ⅰ)求函数y=f(x)的极值; (Ⅱ)若函数y=f(x)有三个不同的零点,求实数a的取值范围. |
定义在R上的函数f(x)=,若关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0恰有5个不同的实数解x1,x2,x3,x4,x5,则f(x1+x2+x3+x4+x5)=( ) |
已知函数f(x)=|x-a|-lnx,a∈R. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)有两个零点x1,x2,(x1<x2),求证:1<x1<a<x2<a2. |
设f(x)=x3+bx2+cx+d,又k是一个常数,已知当k<0或k>4时,f(x)-k=0只有一个实根;当0<k<4时,f(x)-k=0有三个相异实根,现给下列命题: (1)f(x)-4=0与f"(x)=0有一个相同的实根; (2)f(x)=0与f"(x)=0有一个相同的实根; (3)f(x)+3=0的任一实根大于f(x)-1=0的任一实根; (4)f(x)+5=0的任一实根小于f(x)-2=0的任一实根.其中所有正确命题是______. |
已知函数f(x)=x2+bx(b∈R),g(x)=x+(a∈R),H(x)= | f(g(x)),f(x)≥g(x) | g(f(x)),f(x)<g(x). |
| |
(Ⅰ) 当a=b=1时,求H(x); (Ⅱ) 当a=1时,在x∈[2,+∞)上H(x)=f(g(x)),求b的取值范围; (Ⅲ) 当a>0时,方程f(g(x))+c=0,在(0,+∞)上有且只有一个实根,求证:b、c中至少有一个负数. |
最新试题
热门考点