函数f(x)=ax3-6ax2+3bx+b,其图象在x=2处的切线方程为3x+y-11=0.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)若函数y=f(x)的图象与y=1
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函数f(x)=ax3-6ax2+3bx+b,其图象在x=2处的切线方程为3x+y-11=0.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)若函数y=f(x)的图象与y=1
题型:解答题
难度:一般
来源:资阳一模
函数f(x)=ax
3
-6ax
2
+3bx+b,其图象在x=2处的切线方程为3x+y-11=0.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若函数y=f(x)的图象与
y=
1
3
f′(x)+5x+m
的图象有三个不同的交点,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)是否存在点P,使得过点P的直线若能与曲线y=f(x)围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积相等?若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由.
答案
(Ⅰ)由题意得f"(x)=3ax
2
-12ax+3b,f"(2)=-3,
∵图象在x=2处的切线方程为3x+y-11=0.
∴x=2时,y=5,即f(2)=5,
∴
12a-24a+3b=-3
8a-24a+6b+b=5
即
4a-b=1
-16a+7b=5
解得a=1,b=3,
∴f(x)=x
3
-6x
2
+9x+3.(4分)
(Ⅱ)由f(x)=x
3
-6x
2
+9x+3,可得f"(x)=3x
2
-12x+9,
∴
1
3
f′(x)+5x+m=
1
3
(3
x
2
-12x+9)+5x+m
=x
2
+x+3+m,
则由题意可得x
3
-6x
2
+9x+3=x
2
+x+3+m有三个不相等的实根,
即g(x)=x
3
-7x
2
+8x-m的图象与x轴有三个不同的交点,g"(x)=3x
2
-14x+8=(3x-2)(x-4),
则g(x),g"(x)的变化情况如下表.
x
(-∞,
2
3
)
2
3
(
2
3
,4)
4
(4,+∞)
g"(x)
+
0
-
0
+
g(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
举一反三
已知函数f(x)=x
2
-cosx,x∈
[-
π
2
,
π
2
]
,则满足f(x
0
)>f(
π
3
)的x
0
的取值范围为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=2
x
+x,g(x)=log
2
x+x,h(x)=log
2
x-2的零点依次为a,b,c,则( )
A.a<b<c
B.c<b<a
C.c<a<b
D.b<a<c
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=a
x
-x+b的零点x
0
∈(k,k+1)(k∈Z),其中常数a,b满足
3
a
=2,
3
b
=
9
4
,则k=______.
题型:填空题
难度:简单
|
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设函数f(x)=(x+a)lnx-x+a.
(Ⅰ)设g(x)=f"(x),求g(x)函数的单调区间;
(Ⅱ)若
a≥
1
e
,试研究函数f(x)=(x+a)lnx-x+a的零点个数.
题型:解答题
难度:一般
|
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若函数f(x)的零点与g(x)=4
x
+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f(x)可以是( )
A.
f(x)=x-
3
2
B.f(x)=(x-2)
2
C.f(x)=e
x
-1
D.f(x)=ln(x+
3
4
)
题型:单选题
难度:简单
|
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