若函数f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d.(1)当a=d=-1,b=c=0时,若函数f(x)的图象与x轴所有交点的横坐标的和与积分别为m,n.(i)求证:
题型:解答题难度:一般来源:不详
若函数f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d. (1)当a=d=-1,b=c=0时,若函数f(x)的图象与x轴所有交点的横坐标的和与积分别为m,n. (i)求证:f(x)的图象与x轴恰有两个交点; (ii)求证:m2=n-n3. (2)当a=c,d=1时,设函数f(x)有零点,求a2+b2的最小值. |
答案
(本题满分16分) (1)(i)当a=d=-1,b=c=0时,f(x)=x4-x3-1 ∴f"(x)=4x3-3x2=x2(4x-3), 所以x=是使f(x)取到最小值的唯一的值,且在区间(-∞,)上,函数f(x)单调递减; 在区间(,+∞)上,函数f(x)单调递增. 因为f()<0,f(-1)>0,f(2)>0, 所以f(x)的图象与x轴恰有两个交点. …(4分) (ii)设x1,x2是方程f(x)=0的两个实根,则f(x)有因式(x-x1)(x-x2)=x2-mx+n, 且可令f(x)=(x2-mx+n)(x2+px+q). 于是有(x2-mx+n)(x2+px+q)=x4-x3-1.(*) 分别比较(*)式中常数项和含x3的项的系数,得nq=-1,p-m=-1, 解得q=-,p=m-1. 所以x4-x3-1=(x2-mx+n)[x2+(m-1)x-].① 分别比较①式中含x和x2的项的系数,得+n(m-1)=0,…②, -+n-m(m-1)=0,③ ②×m+③×n得-n+n3+m2=0,即n-n3=m2.…(10分) ∴m2=n-n3. (2)方程化为:x2+ax+b++=0, 令t=x+,方程为t2+at+b-2=0,|t|≥2,即有绝对值不小于2的实根. 设g(t)=t2+at+b-2=0(|t|≥2), 当-<-2,即a>4时,只需△=a2-4b+8≥0,此时,a2+b2≥16; 当->2,即a<-4时,只需△=a2-4b+8≥0,此时,a2+b2≥16; 当-2≤-≤2,即-4≤a≤4时,只需(-2)2-2a+b-2≤0或22+2a+b-2≤0, 即-2a+b+2≤0或2a+b+2≤0,此时a2+b2≥. ∴a2+b2的最小值为.…(16分) |
举一反三
已知函数f(x)=ln(x+a)-x2-x在x=0处取得极值 (1)求实数a的值; (2)若关于x的方程f(x)=-x+b在区间[0,2]上有两个不同的实根,求实数b的取值范围. |
已知方程mx4-(m-3)x2+3m=0有1个根小于-2,其余3个根都大于-1,则实数m的取值范围是______. |
已知f(x)=x3+bx2+cx-b(b<0)在[-1,0]和[0,2]上有相反的单调性. (Ⅰ)求c的值; (Ⅱ)若f(x)的图象上在两点A(m,f(m))、B(n,f(n))处的切线都与y轴垂直,且函数f(x)在区间[m,n]上存在零点,求实数b的取值范围; (Ⅲ)若函数f(x)在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性,在f(x)的图象上是否存在一点M,使得f(x)在点M的切线斜率为2b?若存在,求出M点坐标;若不存在,请说明理由. |
f(x)=sinx,x∈(0,π),方程f2(x)+2f(x)+a=0,(a∈R),实根个数可为( ) |
已知函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3. (Ⅰ)求实数a的值; (Ⅱ)若函数g(x)=+-k仅有一个零点,求实数k的取值范围. (Ⅲ)若f(x)>t(x-1)(t∈Z)对任意x>1恒成立,求t的最大值. |
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