设a∈R,讨论关于x的方程x3+3x2-a=0的相异实根的个数?
题型:解答题难度:一般来源:不详
设a∈R,讨论关于x的方程x3+3x2-a=0的相异实根的个数? |
答案
解∵设函数f(x)=x3+3x2-a,求导函数得f"(x)=3x2+6x
∴f"(x)=0的两根分别为x1=-2,x2=0 ∵x<-2或x>0时,f"(x)>0;-2<x<0时,f"(x)<0 ∴函数f(x)的减区间为(-2,0);增区间为(-∞,-2)和(0,+∞) 因此,函数f(x)的极大值是f(-2)=4-a,极小值是f(0)=-a 作出函数的草图,如右图所示,可得 (1)当4-a<0或-a>0时,即a<0或a>4时,函数f(x)的图象与x轴只有一个交点, 可得原方程只有一个根. (2)当4-a=0或-a=0时,即a=0或a=4时,函数f(x)的图象与x轴有两个交点,即原方程有两个相异实根. (3)当0<a<4时,函数f(x)的图象与x轴有三个交点,原方程有三个相异实根. |
举一反三
函数f(x)=3cosx-log2x-的零点个数为( ) |
设函数f(x)=x|x|+bx+c,给出下列四个命题: ①c=0时,y=f(x)是奇函数; ②b=0,c>0时,方程f(x)=0只有一个实数根; ③y=f(x)的图象关于(0,c)对称; ④方程f(x)=0至多有两个实根. 其中正确的命题个数是( ) |
已知关于x的方程2sin(x+)+1-a=0在区间[0,]上存在二个根,则实数a的取值范围是______. |
设A={1,2,…,10},若“方程x2-bx-c=0满足b,c∈A,且方程至少有一根a∈A”,就称该方程为“漂亮方程”.则“漂亮方程”的总个数为______. |
函数f(x)=lnx-的零点所在的大致区间是( )A.(1,2) | B.(2,3) | C.(e,3) | D.(e,+∞) |
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