已知A,B,C是直线l上的不同的三点,O是直线外一点,向量OA,OB,OC满足OA-(32x2+1)•OB-[ln(2+3x)-y]•OC=0,记y=f(x).
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已知A,B,C是直线l上的不同的三点,O是直线外一点,向量OA,OB,OC满足OA-(32x2+1)•OB-[ln(2+3x)-y]•OC=0,记y=f(x).
题型:解答题
难度:一般
来源:江西模拟
已知A,B,C是直线l上的不同的三点,O是直线外一点,向量
OA
,
OB
,
OC
满足
OA
-(
3
2
x
2
+1)•
OB
-[ln(2+3x)-y]•
OC
=
0
,记y=f(x).
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)若关于x的方程f(x)=2x+b在[0,1]上恰有两个不同的实根,求实数b的取值范围.
答案
(1)
OA
=(
3
2
x
2
+1)•
OB
+[ln(2+3x)-y]•
OC
∵A,B,C三点共线,
∴
3
2
x
2
+1+ln(2+3x)-y=1
∴
y=
3
2
x
2
+ln(2+3x)
(2)方程f(x)=2x+b即
3
2
x
2
-2x+ln(2+3x)=b
令
ϕ(x)=
3
2
x
2
-2x+ln(2+3x)
,
∴
ϕ
′
(x)=
3
2+3x
+3x-2=
9
x
2
-1
2+3x
=
(3x+1)(3x-1)
2+3x
当
x∈(0,
1
3
)
时,φ′(x)<0,φ(x)单调递减,
当
x∈(
1
3
,1)
时,φ′(x)>0,φ(x)单调递增,
∴φ(x)有极小值为
ϕ(
1
3
)
=
ln3-
1
2
即为最小值.
又φ(0)=ln2,
ϕ(1)=ln5-
1
2
,又
ln5-
1
2
-ln2
=
ln
5
2
e
=
1
2
ln
25
4e
>
1
2
ln
25
4×3
>0
∴ln5-
1
2
>ln2.
∴要使原方程在[0,1]上恰有两个不同实根,必须使
ln3-
1
2
<b≤
ln2.
举一反三
设a∈R,讨论关于x的方程x
3
+3x
2
-a=0的相异实根的个数?
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
函数
f(x)=3cos
π
2
x-lo
g
2
x-
1
2
的零点个数为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
设函数f(x)=x|x|+bx+c,给出下列四个命题:
①c=0时,y=f(x)是奇函数;
②b=0,c>0时,方程f(x)=0只有一个实数根;
③y=f(x)的图象关于(0,c)对称;
④方程f(x)=0至多有两个实根.
其中正确的命题个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:单选题
难度:一般
|
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已知关于x的方程2sin(x+
π
6
)+1-a=0在区间
[0,
2π
3
]
上存在二个根,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
设A={1,2,…,10},若“方程x
2
-bx-c=0满足b,c∈A,且方程至少有一根a∈A”,就称该方程为“漂亮方程”.则“漂亮方程”的总个数为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
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