已知函数f(x)=ax3-32x2+1(x∈R),其中a>0.(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(Ⅱ)若函数f(x)有三个零点
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已知函数f(x)=ax3-32x2+1(x∈R),其中a>0.(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(Ⅱ)若函数f(x)有三个零点
题型:解答题
难度:一般
来源:咸阳三模
已知函数f(x)=
a
x
3
-
3
2
x
2
+1(x∈R)
,其中a>0.
(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(Ⅱ)若函数f(x)有三个零点,求a的取值范围.
答案
(Ⅰ)当a=1时,
f(x)=
x
3
-
3
2
x
2
+1,f(2)=3
;
得到f′(x)=3x
2
-3x,
则f′(2)=6,
所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为:y-3=6(x-2),即y=6x-9;
(Ⅱ)f′(x)=3ax
2
-3x=3x(ax-1).令f′(x)=0,解得
x=0或x=
1
a
,
因a>0,则
0<
1
a
.
当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如表:
X
(-∞,0)
0
(0,
1
a
)
1
a
(
1
a
,+∞)
F’(x)
+
0
-
0
+
f(x)
递增
极大值
递减
极小值
递增
举一反三
函数f(x)在定义域R内可导,若f(x)=f(2-x),且当x∈(-∞,1)时,(x-1)f(x)′<0,设
a=f(-1),b=f(
1
3
),c=f(4)
则( )
A.a<b<c
B.c<b<a
C.c<a<b
D.b<c<a
题型:单选题
难度:简单
|
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函数y=log
2
(x+1)的图象与y=f(x)的图象关于直线x=1对称,则f(x)的表达式是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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定义:若函数f(x)的图象经过变换T后所得图象对应函数的值域与f(x)的值域相同,则称变换T是f(x)的同值变换.下面给出四个函数及其对应的变换T,其中T不属于f(x)的同值变换的是( )
A.f(x)=(x-1)
2
,T将函数f(x)的图象关于y轴对称
B.f(x)=2
x-1
-1,T将函数f(x)的图象关于x轴对称
C.f(x)=2x+3,T将函数f(x)的图象关于点(-1,1)对称
D.
f(x)=sin(x+
π
3
)
,T将函数f(x)的图象关于点(-1,0)对称
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=2x
3
-3ax
2
+(a
2
+2)x-a(a∈R).
(I)若当x=1时,函数f(x)取得极值,求a的值;
(II)若函数f(x)仅有一个零点,求a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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设函数
f(x)=(
1
2
)
x
-
x
1
3
的零点
x
0
∈(
1
n+1
,
1
n
)(n∈
N
*
)
,则n=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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