设函数y=f（x）满足对任意的实数t，都有f（1+t）=-f（1-t），f（t-2）=f（2-t）成立，则下面关于函数y=f（x）的说法：①图象关于点（1，0）
题型：填空题难度：一般来源：不详
| 设函数y=f（x）满足对任意的实数t，都有f（1+t）=-f（1-t），f（t-2）=f（2-t）成立，则下面关于函数y=f（x）的说法：①图象关于点（1，0）对称；②图象关于y轴对称；③以2为周期；④f（2009）=0．其中正确的有______（将你认为正确说法前面的序号都填上）． |
答案
①f（1+t）=-f（1-t）恒成立，则函数y=f（x）的图象关于（1，0）点对称；①正确．
②由f（t-2）=f（2-t）⇒f（x）=f（-x），则函数y=f（x）是偶函数，它的图象关于y轴对称，故②正确．
③若f（1+t）=-f（1-t），且f（1-t）=f（t-1）恒成立，⇒f（1+t）=-f（t-1）⇒f（t+2）=-f（t），从而f（t+4）=-f（t+2）=f（t），则函数y=f（x）以4为周期．③错误．
④∵函数y=f（x）以4为周期，∴f（2009）=f（4×502+1）=f（1），
在f（1+t）=-f（1-t）中令t=0得f（1）=-f（1），∴f（1）=0，
∴f（2009）=0．④正确．
故答案为：①②④．． |
举一反三
与曲线y=ln（x+1）关于原点对称的曲线是（ ）| A．y=ln（x-1） | B．y=ln（-x+1） | C．y=-ln（-x+1） | D．y=-ln（x-1） |
|
设函数f(x)=log3-a在区间（1，2）内有零点，则实数a的取值范围是（ ）| A．（-1，-log32） | B．（0，log32） | C．（log32，1） | D．（1，log34） |
|
已知函数f（x）=ax3-x2+1(x∈R)，其中a＞0．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）有三个零点，求a的取值范围． |
函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2-x），且当x∈（-∞，1）时，（x-1）f（x）′＜0，设a=f(-1)，b=f()，c=f(4)则（ ）| A．a＜b＜c | B．c＜b＜a | C．c＜a＜b | D．b＜c＜a |
|
| 函数y=log2（x+1）的图象与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，则f（x）的表达式是______． |
最新试题
热门考点