武汉某文具生产企业,上年度某商品生产的投入成本为3元/件,出厂价为4元/件,年销售量为1000万件,本年度此企业为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成

武汉某文具生产企业,上年度某商品生产的投入成本为3元/件,出厂价为4元/件,年销售量为1000万件,本年度此企业为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成

题型:解答题难度:一般来源:不详
武汉某文具生产企业,上年度某商品生产的投入成本为3元/件,出厂价为4元/件,年销售量为1000万件,本年度此企业为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每件投入成本增加的比例为x(0<x<0.5),则出厂价相应提高的比例为0.625x,同时预计销售量增加的比例为0.75x;若每件投入成本增加的比例为x(0.5≤x≤1),则出厂价相应提高的比例为0.75x,但预计销量增加的比例为0.04x.
(1)写出本年度该企业预计的年利润y(万元)与投入成本增加的比例x的关系式;
(2)为使本年度的年利润达到最大值,则每件投入成本增加的比例x应是多少?此时最大利润是多少?(结果精确到0.001)
答案
根据题意可知,年利润y=销售收入-成本,
①当0<x<
1
2
时,生产投入的成本为3×(1+x)元/件,出厂价为4×(1+0.625x)元/件,销售量为1000(1+0.75x)万件,
∴y=[4×(1+0.625x)-3×(1+x)]×1000(1+0.75x)
=125(2-x)(4+3x)
=125(-3x2+2x+8),
②当
1
2
≤x≤1时,生产投入的成本为3×(1+x)元/件,出厂价为4×(1+0.75x)元/件,销售量为1000(1+0.04x)万件,
∴y=[4×(1+0.75x)-3×(1+x)]×1000(1+0.04x)
=1000(1+0.04x)
=40(25+x),
综合①②可得,y=





125(-3x2+2x+8),x∈(0,
1
2
)
40(25+x),x∈[
1
2
,1]

∴本年度该企业预计的年利润y(万元)与投入成本增加的比例x的关系式为y=





125(-3x2+2x+8),x∈(0,
1
2
)
40(25+x),x∈[
1
2
,1]

(2)根据(1)可知,y=





125(-3x2+2x+8),x∈(0,
1
2
)
40(25+x),x∈[
1
2
,1]

①当0<x<
1
2
时,y=125(-3x2+2x+8),
对称轴为x=
1
3
∈(0,
1
2
),
∴当x=
1
3
时,y取得最大值为ymax=125×[-3×(
1
3
)2
+2×
1
3
+8]=125×(
1
3
+8)
≈1041.667,
②当
1
2
≤x≤1时,y=40(25+x),
∴函数y在[
1
2
,1]上是单调递增函数,
∴当x=1时,y取得最大值为ymax=40×(25+1)=1040.
综上所述,由于1040<1041.667,
∴当x=
1
3
时,最大利润为1041.667万元,
∴为使本年度的年利润达到最大值,则每件投入成本增加的比例x应是
1
3
,此时最大利润是1041.667万元.
举一反三
2013年9月4日在福州市永泰县、莆田市仙游县交界处发生里氏4.8级地震,福州地区均有强烈震感,在当地虽然没有人员伤亡,但也造成较大的财产损失.这里常说的里氏震级M的计算公式是:M=lgA-lgA0,其中A是被测地震的最大振幅,A0是标准地震的振幅.
(1)假设在一次地震中,测震仪记录的地震最大振幅是80,此时标准地震的振幅是0.001,计算这次地震的震级(精确到0.1,参考数据:lg2=0.301);
(2)2008年5月12日汶川发生里氏8.0级地震,给当地造成巨大的人员伤亡和财产损失,在标准地震振幅相同的前提下,计算汶川地震的最大振幅是这次永泰地震的最大振幅的多少倍(精确到1,参考数据:100.2≈1.5849)
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永泰青云山特产经营店销售某种品牌蜜饯,蜜饯每盒进价为8元,预计这种蜜饯以每盒20元的价格销售时该店一天可销售20盒,经过市场调研发现每盒蜜饯的销售价格在每盒20元的基础上每减少一元则增加销售4盒,每增加一元则减少销售1盒,现设每盒蜜饯的销售价格为x元.
(1)写出该特产店一天内销售这种蜜饯所获得的利润y(元)与每盒蜜饯的销售价格x的函数关系式;
(2)当每盒蜜饯销售价格x为多少时,该特产店一天内利润y(元)最大,并求出这个最大值.
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某医药研究所开发一种抗甲流新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线.
(1)结合图,求k与a的值;
(2)写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t);
(3)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效,求服药一次治疗有效的时间范围?
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某市一家庭今年八月份、九月份和十月份天然气用量和支付费用如下表所示:
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月份用气量(立方米)天然气费(元)
8817
92562
103592
某市电信宽带网用户收费标准如下表:(假定每月初均可以和电信部门约定上网方案)
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