武汉某文具生产企业，上年度某商品生产的投入成本为3元/件，出厂价为4元/件，年销售量为1000万件，本年度此企业为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成

题型：解答题难度：一般来源：不详

武汉某文具生产企业，上年度某商品生产的投入成本为3元/件，出厂价为4元/件，年销售量为1000万件，本年度此企业为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每件投入成本增加的比例为x（0＜x＜0.5），则出厂价相应提高的比例为0.625x，同时预计销售量增加的比例为0.75x；若每件投入成本增加的比例为x（0.5≤x≤1），则出厂价相应提高的比例为0.75x，但预计销量增加的比例为0.04x．
（1）写出本年度该企业预计的年利润y（万元）与投入成本增加的比例x的关系式；
（2）为使本年度的年利润达到最大值，则每件投入成本增加的比例x应是多少？此时最大利润是多少？（结果精确到0.001）

答案

根据题意可知，年利润y=销售收入-成本，
①当0＜x＜

1

2

时，生产投入的成本为3×（1+x）元/件，出厂价为4×（1+0.625x）元/件，销售量为1000（1+0.75x）万件，
∴y=[4×（1+0.625x）-3×（1+x）]×1000（1+0.75x）
=125（2-x）（4+3x）
=125（-3x²+2x+8），
②当

1

2

≤x≤1时，生产投入的成本为3×（1+x）元/件，出厂价为4×（1+0.75x）元/件，销售量为1000（1+0.04x）万件，
∴y=[4×（1+0.75x）-3×（1+x）]×1000（1+0.04x）
=1000（1+0.04x）
=40（25+x），
综合①②可得，y=

125(-3x2+2x+8)，x∈(0， 1 2 ) 40(25+x)，x∈[ 1 2 ，1]

，
∴本年度该企业预计的年利润y（万元）与投入成本增加的比例x的关系式为y=

125(-3x2+2x+8)，x∈(0， 1 2 ) 40(25+x)，x∈[ 1 2 ，1]

；
（2）根据（1）可知，y=

125(-3x2+2x+8)，x∈(0， 1 2 ) 40(25+x)，x∈[ 1 2 ，1]

，
①当0＜x＜

1

2

时，y=125（-3x²+2x+8），
对称轴为x=

1

3

∈（0，

1

2

），
∴当x=

1

3

时，y取得最大值为y_max=125×[-3×(

1

3

)2+2×

1

3

+8]=125×(

1

3

+8)≈1041.667，
②当

1

2

≤x≤1时，y=40（25+x），
∴函数y在[

1

2

，1]上是单调递增函数，
∴当x=1时，y取得最大值为y_max=40×（25+1）=1040．
综上所述，由于1040＜1041.667，
∴当x=

1

3

时，最大利润为1041.667万元，
∴为使本年度的年利润达到最大值，则每件投入成本增加的比例x应是

1

3

，此时最大利润是1041.667万元．