已知函数f(x)=lnx+2ax,a∈R.(1)若a=1,求函数f(x)的极值;(2)若函数f(x)在[2,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;(3)若函数f

已知函数f(x)=lnx+2ax,a∈R.(1)若a=1,求函数f(x)的极值;(2)若函数f(x)在[2,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;(3)若函数f

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=lnx+
2a
x
,a∈R

(1)若a=1,求函数f(x)的极值;
(2)若函数f(x)在[2,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;
(3)若函数f(x)在[1,e]上的最小值为3,求实数a的值.
答案
(1)当a=1时,f(x)=lnx+
2
x
,定义域为(0,+∞),
f(x)=
1
x
-
2
x2
=
x-2
x2

所以,当x∈(0,2)时,f(x)<0,f(x)为减函数;
当x∈(2,+∞)时,f(x)>0,f(x)为增函数,
所以在(0,+∞)上f(x)有极小值,极小值为f(2)=1+ln2;
(2)由f(x)=lnx+
2a
x
,a∈R
,所以f(x)=
1
x
-
2a
x2
=
x-2a
x2

若函数f(x)在[2,+∞)上是增函数,则f(x)=
x-2a
x2
≥0
在[2,+∞)恒成立,
即x-2a≥0在[2,+∞)恒成立,也就是a≤
x
2
在[2,+∞)恒成立,
所以a≤1.
所以使函数f(x)在[2,+∞)上是增函数的实数a的取值范围是(-∞,1];
(3)由(2)知,以f(x)=
1
x
-
2a
x2
=
x-2a
x2

若a≤0,则f(x)>0,f(x)在(0,+∞)上为增函数,
f(x)在[1,e]上的最小值为f(1)=2a=3,a=
3
2
,不合题意;
若a>0,由f(x)=0,得x=2a.
当x∈(0,2a)时,f(x)<0,f(x)为减函数,
当x∈(2a,+∞)时,f(x)>0,f(x)为增函数,
所以当2a≤1,即a≤
1
2
时,f(x)在[1,e]上为增函数,
最小值为f(1)=2a=3,a=
3
2
,不合题意;
当2a≥e,即a≥
e
2
时,f(x)在[1,e]上为减函数,
最小值为f(e)=1+
2a
e
=3,a=e,符合题意;
当1<2a<e,即
1
2
<a<
e
2
时,f(x)在[1,e]上的最小值为f(2a)=ln2a+1=3,a=
e2
2
不合题意.
综上,使函数f(x)在[1,e]上的最小值为3的实数a的值为e.
举一反三
如果指数函数右=(a-2)x在x∈R上是减函数,则a的取值范围是(  )
A.(2,+∞)B.(-∞,3)C.(2,3)D.(3,+∞)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
如果0<a<
1
2
,则下列不等式恒成立的是(  )
A.loga(1-a)>1B.loga(1-a)<log(1-a)a
C.a1-a>(1-a)aD.(1-a)n<an(n为正整数)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
比较1.5
1
3.1
、23.12
1
3.1
的大小关系是(  )
A.23.12
1
3.1
1.5
1
3.1
B.1.5
1
3.1
<23.12
1
3.1
C.1.5
1
3.1
2
1
3.1
<23.1
D.2
1
3.1
1.5
1
3.1
<23.1
题型:单选题难度:简单| 查看答案
函数f(x)=2


-x2+2x
的单调递减区间是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
有甲、乙两种商品,经销这两种商品所能获得的利润分别是p万元和q万元.它们与投入资金x万元的关系是:p=
1
5
x,q=
3
5


x
.今有3万元资金投入经营这两种商品,为获得最大利润,对这两种商品的资金分别投入多少时,能获取最大利润?最大利润为多少?
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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