设a＞0，f(x)＝是R上的偶函数．(1)求a的值；(2)判断并证明函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性；(3)求函数的值域．

题型：解答题难度：一般来源：不详

设a＞0，f(x)＝是R上的偶函数．
(1)求a的值；
(2)判断并证明函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性；
(3)求函数的值域．

答案

（1）a＝1（2）f(x)在[0，＋∞)上为增函数（3）[2，＋∞)

解析

(1)因为f(x)为偶函数，故f(1)＝f(－1)，
于是＝＋3a，即.因为a＞0，故a＝1.
(2)设x₂＞x₁≥0，f(x₁)－f(x₂)＝(3x₂－3x₁)(－1)．
因为3^x为增函数，且x₂＞x₁，
故3x₂－3x₁＞0.因为x₂＞0，x₁≥0，故x₂＋x₁＞0，于是＜1，即－1＜0，所以f(x₁)－f(x₂)＜0，所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数．
(3)因为函数为偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，故f(0)＝2为函数的最小值，于是函数的值域为[2，＋∞)．