设函数，（1）确定函数f(x)的定义域；（2）判断函数f(x)的奇偶性；（3）证明函数f(x)在其定义域上是单调增函数；（4）求函数f(x)的反函数。

题型：解答题难度：一般来源：同步题

设函数，
（1）确定函数f(x)的定义域；
（2）判断函数f(x)的奇偶性；
（3）证明函数f(x)在其定义域上是单调增函数；
（4）求函数f(x)的反函数。

答案

解：（1）由，得x∈R，∴定义域为R。
（2）f(x)是奇函数；
（3）设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则，
令，
则
 
 
 
∵x₁-x₂＜0，，，，
∴t₁-t₂＜0，
∴0＜t₁＜t₂，∴，
∴f(x₁)-f(x₂)＜lg1=0，
即f(x₁)＜f(x₂)，
∴函数f(x)在R上是单调增函数。
（4）反函数为(x∈R)。