已知函数f(x)=log4(4x+1).(1)求函数f(x)的值域;(2)判断函数F(x)=f(x)-4在定义域上的单调性,并用定义证明;(3)设h(x)=lo

已知函数f(x)=log4(4x+1).(1)求函数f(x)的值域;(2)判断函数F(x)=f(x)-4在定义域上的单调性,并用定义证明;(3)设h(x)=lo

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=log4(4x+1)
(1)求函数f(x)的值域;
(2)判断函数F(x)=f(x)-4在定义域上的单调性,并用定义证明;
(3)设h(x)=log4(a•2x-
3
4
a)
,若函数f(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.
答案
(1)令t=4x+1,
∵4x>0,
∴t>1,
∴y=log4t>0,
所以函数f(x)的值域为(0,+∞).…(2分)
(2)∵F(x)=f(x)-4的定义域为R,
∴对任意x1,x2∈R,且x1<x2
则F(x1)-F(x2)=log4(4x1+1)-4-[log4(4x2+1)-4]
=log4
1+4x1
1+4x2

∵x1,x2∈R,且x1<x2
4x14x2
∴0<4x1+1<4x2+1,从而
4x1+1
4x2+1
<1,
log4
1+4x1
1+4x2
<0,故F(x1)-F(x2)<0,
即F(x1)<F(x2),
所以函数F(x)=f(x)-x在定义域上为增函数.…(4分)
(3)因为函数f(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点,
即方程log4(4x +1)=log4(a•2x-
3
4
a)
有且只有一个实数根,
∴4x+1=(a•2x-
3
4
a)有且只有一个实数根,
∴(2x2+1=(a•2x-
3
4
a),即(2x2-a•2x+
3
4
a+1=0.
令t=2x>0,则关于t的方程t2-at+
3
4
a+1=0(*)有且只有一个正根.                            …(6分)
则方程(*)的两根异号或有两个相等的正根.





△=0
a
2
>0
3
4
a+1<0,
∴a=4或a<-
4
3

综上所述,实数a的取值范围是{a|a=4或a<-
4
3
}.…(8分)
举一反三
设log23=a,log53=b,则lg3等于(  )
A.
1
a+b
B.
ab
a+b
C.
2
a+b
D.
a+b
ab
题型:单选题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=loga(ax2-x)在[2,4]上是增函数,则a的取值范围是(  )
A.
1
2
<a<1或a>1
B.a>1
C.
1
4
<a<1
D.0<a<
1
8
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=loga(ax-1),其中a>0且a≠1
(1)证明函数f(x)的图象在y轴的一侧;
(2)求函数y=f(2x)与y=f-1(x)的图象的公共点的坐标.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数y=loga(2x-3)+


2
2
的图象恒过定点P,P在幂函数f(x)的图象上,则f(9)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)满足:x≥4,则f(x)=(
1
2
)x
;当x<4时f(x)=f(x+1),则f(2+log23)=(  )
A.
1
24
B.
1
12
C.
1
8
D.
3
8
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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