已知函数f（x）=2acos2x+bsinxcosx（a＞0，b＞0），f（x）的最大值为1+a，最小值为-12．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求f（x

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=2acos²x+bsinxcosx（a＞0，b＞0），f（x）的最大值为1+a，最小值为-

1

2

．
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）求f（x）的单调递增区间．

答案

（I）f(x)=a(1+cos2x)+

b

2

sin2x=

a2+ b2 4

sin(2x+φ)+a，
由题设知

a2+ b2 4

=1，a-

a2+ b2 4

=-

1

2

，
所以a=

1

2

，b=

3

…（4分）
所以f(x)=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

=sin(2x+

π

6

)+

1

2

，
所以f（x）的最小正周期为π…（7分）
（II）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

⇒kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
所以f（x）单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)…（13分）