(I)∵f(x)=(sinωx+acosωx)=sin(ωx+ϕ),其中sinϕ=,cosϕ=, 由f(x-π)=f(x+π)知f(x)=f(x+2π),即函数f(x)的周期为2π. ∴≤2π,即|ω|≥1.又0<ω≤1,∴ω=1. 又∵f(x)=f(-x),∴f(0)=f(), 即 (sin0+acos0)=(sin+acos),解得 a=,∴f(x)=sin(x+). (II)显然,x∈(-,)等价于x+∈(-,). 令u=x+,f(x)=t,g(t)=t2+mt+n,则f(x)=sinu, 由|m|+|n|<1得|m+n|≤|m|+|n|<1,∴m+n>-1. 同理由|m-n|≤|m|+|n|<1得m-n<1. ∴g(1)=m+n+1>0,g(-1)=1-m+n>0. 又∵|m|≤|m|+|n|<1,∴-∈(-1,1). 又∵△=m2-4n>0,∴一元二次方程t2+mt+n=0在区间(-1,1)内有两个不等的实根. ∵函数y=sinu(u∈(-,))与u=x+(x∈(-,))都是增函数, ∴[f(x)]2+mf(x)+n=0在区间(-,)内有两个不等实根. ∴“|m|+|n|<1”是“方程[f(x)]2+mf(x)+n=0在区间(-,)内有两个不等实根”的充分条件. 令m=,n=,由于方程t2+t+=0有两个不等的实根-,-,且-,-∈(-1,1), ∴方程sin2(x+)+sin(x+)+=0在(-,)内有两个不等的实根, 但|m|+|n|=+=1, 故“|m|+|n|<1”不是“方程[f(x)]2+mf(x)+n=0在区间(-,)内有两个不等实根”的必要条件. 综上,“|m|+|n|<1”是“方程[f(x)]2+mf(x)+n=0在区间(-,)内有两个不等实根”的充分不必要条件. |